2007年考研数学三第3题

根据题目给出的函数 $f(x)$ 的图形描述，我们需要明确 $f(x)$ 在各个区间上的具体形状。题目指出： - 在区间 $[-3, -2]$ 上，$f(x)$ 是上半个直径为 $1$ 的半圆。直径为 $1$ 意味着半径为 $r = \frac{1}{2}$。该半圆位于 $x$ 轴上方，因此 $f(x) \geq 0$。半圆的圆心位于区间中点 $x = -2.5$ 处，纵坐标为 $0$，所以该半圆的方程为 $(x + 2.5)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$，且 $y \geq 0$。 - 在区间 $[2, 3]$ 上，$f(x)$ 是下半个直径为 $1$ 的半圆。同样半径 $r = \frac{1}{2}$，但位于 $x$ 轴下方，因此 $f(x) \leq 0$。圆心在 $x = 2.5$ 处，方程为 $(x - 2.5)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$，且 $y \leq 0$。 - 在区间 $[-2, 0]$ 上，$f(x)$ 是下半个直径为 $2$ 的半圆。直径为 $2$ 意味着半径 $r = 1$。该半圆位于 $x$ 轴下方，因此 $f(x) \leq 0$。圆心位于区间中点 $x = -1$ 处，方程为 $(x + 1)^2 + y^2 = 1^2$，且 $y \leq 0$。 - 在区间 $[0, 2]$ 上，$f(x)$ 是上半个直径为 $2$ 的半圆。半径 $r = 1$，位于 $x$ 轴上方，因此 $f(x) \geq 0$。圆心在 $x = 1$ 处，方程为 $(x - 1)^2 + y^2 = 1^2$，且 $y \geq 0$。 这样，$f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上由四个半圆弧拼接而成，整体图形关于原点对称（因为左右两侧形状相同但上下相反）。这些图形特征将用于后续计算定积分等操作。

根据分布函数$F(x)$的定义，$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) dt$。对于$x=2$，有$F(2)=\int_{-\infty}^{2} f(t) dt$。由于概率密度函数$f(t)$在$t<0$时取值为0，因此积分下限实际为0，即$F(2)=\int_{0}^{2} f(t) dt$。 由题目条件，$f(t)$在区间$[0,2]$上的图形是直径为2的上半圆。该半圆的半径为$r=1$，圆心位于$(1,0)$。上半圆的面积即为$\frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}$。由于$f(t)$是概率密度函数，其在整个定义域上的积分为1，而此处$f(t)$在$[0,2]$上的图形恰好是面积为$\frac{\pi}{2}$的上半圆，因此$\int_{0}^{2} f(t) dt = \frac{\pi}{2}$。 故$F(2)=\frac{\pi}{2}$。

根据步骤目标，我们需要计算 $F(3)$ 的值。由步骤2已知 $F(2) = \frac{\pi}{2}$，且 $F(x)$ 满足递推关系 $F(3) = F(2) + \int_2^3 f(t) \, dt$。 首先确定 $f(t)$ 在区间 $[2,3]$ 上的表达式。由题目条件，$f(t)$ 是周期为2的周期函数，且在 $[0,2]$ 上的定义为：当 $0 \le t < 1$ 时，$f(t) = \sqrt{1 - (t-1)^2}$（上半圆）；当 $1 \le t \le 2$ 时，$f(t) = -\sqrt{1 - (t-1)^2}$（下半圆）。因此，在 $[2,3]$ 上，利用周期性，$f(t) = f(t-2)$，其中 $t-2 \in [0,1]$，故 $f(t) = \sqrt{1 - ((t-2)-1)^2} = \sqrt{1 - (t-3)^2}$，但注意 $t \in [2,3]$ 时，$t-2 \in [0,1]$，对应的是上半圆？需要仔细分析：周期为2，$f(t)$ 在 $[0,2]$ 上的图形是上半圆（$[0,1]$）和下半圆（$[1,2]$）。当 $t \in [2,3]$ 时，$t-2 \in [0,1]$，所以 $f(t) = f(t-2)$ 对应 $[0,1]$ 上的上半圆，即 $f(t) = \sqrt{1 - (t-3)^2}$。但题目中给出的 $f(t)$ 在 $[2,3]$ 上实际是直径为1的下半圆？这里需要根据已知条件重新审视。 实际上，由题目已知，$f(t)$ 在 $[0,2]$ 上的定义是：$f(t) = \sqrt{1 - (t-1)^2}$ 当 $0 \le t \le 1$（上半圆），$f(t) = -\sqrt{1 - (t-1)^2}$ 当 $1 \le t \le 2$（下半圆）。由于周期为2，$f(t)$ 在 $[2,3]$ 上的图形应与 $[0,1]$ 上的图形相同，即上半圆。但步骤概要中明确指出 $\int_2^3 f(t) \, dt$ 对应 $[2,3]$ 上直径为1的下半圆面积，面积为 $-(1/2)\pi(0.5)^2 = -\pi/8$。这说明题目中 $f(t)$ 在 $[2,3]$ 上实际是下半圆。可能的原因是：题目中 $f(t)$ 的周期为2，但 $f(t)$ 在 $[0,2]$ 上的定义是上半圆在 $[0,1]$，下半圆在 $[1,2]$，那么 $[2,3]$ 对应 $[0,1]$ 平移，应该是上半圆，但这里却说是下半圆，这可能是题目设定的特殊之处，或者我们需根据 $F(x)$ 的递推关系来确认。 根据步骤概要，我们直接采用已知结论：$\int_2^3 f(t) \, dt$ 等于 $[2,3]$ 上直径为1的下半圆面积。直径为1的圆半径为 $0.5$，下半圆面积为负，故面积为 $-\frac{1}{2} \pi (0.5)^2 = -\frac{\pi}{8}$。 因此， $$ F(3) = F(2) + \int_2^3 f(t) \, dt = \frac{\pi}{2} + \left(-\frac{\pi}{8}\right) = \frac{4\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}. $$ 所以 $F(3) = \dfrac{3\pi}{8}$。

由题意，$F(x)=\int_0^x f(t)dt$，其中$f(t)$为已知函数。要求$F(-2)$，即计算$\int_0^{-2} f(t)dt$。根据定积分的性质，交换积分上下限需改变符号： $$\int_0^{-2} f(t)dt = -\int_{-2}^0 f(t)dt.$$ 因此，$F(-2) = -\int_{-2}^0 f(t)dt$。 接下来计算$\int_{-2}^0 f(t)dt$。由题目已知条件，在区间$[-2,0]$上，$f(t)$对应的图形是以$(-1,0)$为圆心、半径为$1$的下半圆（直径从$-2$到$0$）。下半圆的面积为负值（因为$f(t)\le 0$），面积为$\frac{1}{2}\pi\cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}$，但因为是下半圆，所以积分值为负，即 $$\int_{-2}^0 f(t)dt = -\frac{\pi}{2}.$$ 代入上式得： $$F(-2) = -\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}.$$ 因此，$F(-2)=\frac{\pi}{2}$。

根据步骤目标，我们需要计算 $F(-3)$ 的值。由步骤4已知 $F(-2) = \frac{\pi}{2}$，并且函数 $F(x)$ 满足关系式 $F(x) = F(a) + \int_a^x f(t) dt$。取 $a = -2$，$x = -3$，则有 $$F(-3) = F(-2) + \int_{-2}^{-3} f(t) dt.$$ 注意积分上下限：从 $-2$ 到 $-3$ 是递减方向，因此可以交换上下限并添加负号： $$\int_{-2}^{-3} f(t) dt = -\int_{-3}^{-2} f(t) dt.$$ 于是 $$F(-3) = F(-2) - \int_{-3}^{-2} f(t) dt.$$ 现在需要计算积分 $\int_{-3}^{-2} f(t) dt$。由题目条件，$f(t)$ 在区间 $[-3,-2]$ 上的图形是直径为1的上半圆。该半圆的半径为 $r = \frac{1}{2}$，因此上半圆的面积为 $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{8}$。由于 $f(t)$ 在该区间上非负，积分值等于该半圆的面积，即 $$\int_{-3}^{-2} f(t) dt = \frac{\pi}{8}.$$ 代入 $F(-2) = \frac{\pi}{2}$，得 $$F(-3) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}.$$ 因此，$F(-3) = \dfrac{3\pi}{8}$。