2007年考研数学三第4题

首先，我们分析给定的二次积分： $$ \int_{\pi/2}^{\pi} dx \int_{\sin x}^{1} f(x,y) dy $$ 该积分表示先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。根据积分限，可以确定积分区域 $D$ 如下： - $x$ 的取值范围是从 $\pi/2$ 到 $\pi$； - 对于每一个固定的 $x \in [\pi/2, \pi]$，$y$ 的下限是 $\sin x$，上限是 $1$。 因此，积分区域 $D$ 可以描述为： $$ D = \{ (x,y) \mid \pi/2 \le x \le \pi,\; \sin x \le y \le 1 \} $$ 注意，在区间 $[\pi/2, \pi]$ 上，函数 $y = \sin x$ 是单调递减的，且 $\sin(\pi/2)=1$，$\sin(\pi)=0$。所以 $y$ 的下限从 $1$ 下降到 $0$，而上限恒为 $1$。这意味着区域 $D$ 是由曲线 $y = \sin x$（从点 $(\pi/2,1)$ 到点 $(\pi,0)$）和水平直线 $y=1$（从 $x=\pi/2$ 到 $x=\pi$）以及垂直线 $x=\pi/2$ 和 $x=\pi$ 所围成的封闭区域。实际上，由于 $y$ 的上限是常数 $1$，区域的上边界是一条水平线段；下边界是正弦曲线的一段。 为了后续交换积分次序，我们需要准确理解该区域的形状。画出草图有助于直观认识：在 $xOy$ 平面中，$x$ 轴从 $\pi/2$ 到 $\pi$，$y$ 轴从 $0$ 到 $1$。曲线 $y=\sin x$ 在 $x=\pi/2$ 时 $y=1$，然后逐渐下降，在 $x=\pi$ 时 $y=0$。因此区域 $D$ 位于这条曲线之上、直线 $y=1$ 之下，并且夹在 $x=\pi/2$ 和 $x=\pi$ 之间。 至此，我们完成了第一步：识别原积分区域。

首先，在$xOy$平面上绘制曲线$y=\sin x$在区间$x\in[\pi/2,\pi]$上的图像。由于$\sin x$在$[\pi/2,\pi]$上单调递减，且$\sin(\pi/2)=1$，$\sin(\pi)=0$，因此曲线从点$(\pi/2,1)$下降到点$(\pi,0)$。再绘制水平直线$y=1$。积分区域$D$由以下边界围成： - 上边界：直线$y=1$（从$x=\pi/2$到$x=\pi$）； - 下边界：曲线$y=\sin x$（从$x=\pi/2$到$x=\pi$）； - 左边界：直线$x=\pi/2$（从$y=\sin(\pi/2)=1$到$y=1$，实际上是一个点）； - 右边界：直线$x=\pi$（从$y=\sin(\pi)=0$到$y=1$）。 因此，区域$D$可描述为： $$ D = \left\{ (x,y) \mid \frac{\pi}{2} \le x \le \pi,\; \sin x \le y \le 1 \right\}. $$ 在图形上，区域$D$是位于直线$y=1$下方、曲线$y=\sin x$上方、介于$x=\pi/2$与$x=\pi$之间的一个曲边梯形。该区域在$x$方向上的投影区间为$[\pi/2,\pi]$，对于每个固定的$x$，$y$从$\sin x$变化到$1$。这一边界描述将用于后续步骤中确定积分限。

在完成x型区域描述后，我们进一步将积分区域用y型（即先对x后对y积分）来描述。观察区域图形，该区域由曲线$x = \arcsin y$、$x = \pi - \arcsin y$以及直线$x = \pi$、$y = 0$、$y = 1$围成。对于y型区域，我们需要确定y的取值范围以及对于每个固定的y，x的变化范围。\n\n首先，y的取值范围：从图形中可以看出，y从0变化到1，即$0 \leq y \leq 1$。\n\n其次，对于固定的y，x的变化范围：在y型描述中，x的左边边界是曲线$x = \pi - \arcsin y$（注意，当$y \in [0,1]$时，$\arcsin y \in [0, \pi/2]$，因此$\pi - \arcsin y \in [\pi/2, \pi]$，该曲线是$x = \arcsin y$关于直线$x = \pi/2$的对称曲线），右边边界是直线$x = \pi$。因此，对于每个固定的y，x从$x = \pi - \arcsin y$到$x = \pi$。\n\n于是，区域D的y型描述为：\n$$D = \{ (x, y) \mid 0 \leq y \leq 1, \ \pi - \arcsin y \leq x \leq \pi \}.$$\n\n注意：这里需要确认左边曲线是否正确。原题中曲线为$x = \arcsin y$和$x = \pi - \arcsin y$，它们关于$x = \pi/2$对称。在y型描述中，我们取左边曲线为$x = \pi - \arcsin y$，因为当y固定时，该曲线对应的x值小于$\pi$，且大于等于$\pi/2$，而右边直线$x = \pi$是常数。因此上述描述正确。\n\n这样，我们就完成了将区域用y型描述的目标，为下一步交换积分次序并计算二重积分做好了准备。

根据前几步的分析，原积分区域由不等式 $0 \leq y \leq 1$ 和 $\pi - \arcsin y \leq x \leq \pi$ 描述。交换积分次序后，先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分，得到累次积分： $$ \int_0^1 dy \int_{\pi - \arcsin y}^{\pi} f(x,y) \, dx. $$ 现在对照选项： - 选项A：$\int_0^1 dy \int_0^{\pi - \arcsin y} f(x,y) dx$，积分上限错误。 - 选项B：$\int_0^1 dy \int_{\pi - \arcsin y}^{\pi} f(x,y) dx$，与我们的结果完全一致。 - 选项C：$\int_0^1 dy \int_{\arcsin y}^{\pi} f(x,y) dx$，下限应为 $\pi - \arcsin y$ 而非 $\arcsin y$。 - 选项D：$\int_0^1 dy \int_0^{\arcsin y} f(x,y) dx$，积分限完全错误。 因此，正确选项为B。 验证：原积分次序为 $\int_{\pi/2}^{\pi} dx \int_{0}^{\sin x} f(x,y) dy$，其中 $x \in [\pi/2, \pi]$，$y \in [0, \sin x]$。交换后 $y \in [0,1]$，对于每个 $y$，$x$ 从 $\pi - \arcsin y$ 到 $\pi$，与选项B一致。