2007年考研数学三第5题

需求价格弹性（简称需求弹性）是衡量需求量对价格变动反应程度的指标。其定义为：需求量变动的百分比与价格变动的百分比之比。设需求函数为 $Q = f(p)$，其中 $Q$ 表示需求量，$p$ 表示价格。当价格发生微小变动 $\Delta p$ 时，需求量相应变动 $\Delta Q$，则需求弧弹性公式为 $E = \frac{\Delta Q / Q}{\Delta p / p} = \frac{p}{Q} \cdot \frac{\Delta Q}{\Delta p}$。当 $\Delta p \to 0$ 时，得到点弹性公式： $$E = \frac{p}{Q} \cdot \frac{dQ}{dp}$$ 其中 $\frac{dQ}{dp}$ 是需求函数对价格的导数。由于需求曲线通常向右下方倾斜，即 $\frac{dQ}{dp} < 0$，因此弹性 $E$ 通常为负值。但在经济学中，常取其绝对值进行比较，即 $|E|$。当 $|E| = 1$ 时，称为单位弹性，表示需求量变动百分比等于价格变动百分比。本题中，题目条件给出需求弹性的绝对值等于1，即 $|E| = 1$，因此有 $\left| \frac{p}{Q} \cdot \frac{dQ}{dp} \right| = 1$。由于 $\frac{dQ}{dp} < 0$，可去掉绝对值符号得到 $- \frac{p}{Q} \cdot \frac{dQ}{dp} = 1$，或等价地 $\frac{p}{Q} \cdot \frac{dQ}{dp} = -1$。该公式是后续求解需求函数的基础。

已知需求函数为 $Q = 160 - 2p$，其中 $Q$ 表示需求量，$p$ 表示价格。我们需要计算需求量对价格的导数 $\frac{dQ}{dp}$。 根据导数的基本运算法则，常数函数的导数为0，幂函数的导数为 $\frac{d}{dp}(p^n) = n p^{n-1}$。这里 $Q$ 是 $p$ 的线性函数，可以写成 $Q = 160 - 2p$。对 $p$ 求导： $$\frac{dQ}{dp} = \frac{d}{dp}(160) - \frac{d}{dp}(2p)$$ 第一项 $\frac{d}{dp}(160) = 0$，因为160是常数。第二项 $\frac{d}{dp}(2p) = 2 \cdot \frac{d}{dp}(p) = 2 \cdot 1 = 2$。因此： $$\frac{dQ}{dp} = 0 - 2 = -2$$ 所以，需求量对价格的导数为 $-2$，表示价格每增加1个单位，需求量减少2个单位。这个导数在经济学中称为需求函数的斜率，它反映了需求量对价格变化的敏感程度。

根据需求价格弹性公式 $E_d = \left| \frac{p}{Q} \cdot \frac{dQ}{dp} \right|$，已知需求函数 $Q = 160 - 2p$，则 $\frac{dQ}{dp} = -2$。将 $Q$ 和 $\frac{dQ}{dp}$ 代入弹性公式得： $$E_d = \left| \frac{p}{160 - 2p} \cdot (-2) \right| = \left| \frac{-2p}{160 - 2p} \right| = \left| \frac{2p}{160 - 2p} \right|.$$ 题目条件为需求价格弹性等于1，即 $E_d = 1$，因此建立方程： $$\left| \frac{2p}{160 - 2p} \right| = 1.$$ 由于价格 $p > 0$ 且 $Q = 160 - 2p > 0$（即 $p < 80$），故分母 $160 - 2p > 0$，分子 $2p > 0$，绝对值内为正，可去掉绝对值符号： $$\frac{2p}{160 - 2p} = 1.$$ 为简化，分子分母同时除以2，得： $$\frac{p}{80 - p} = 1.$$ 此即本步骤建立的方程，下一步将求解该方程得到价格 $p$。

我们需要解绝对值方程 $\left| \frac{p}{80-p} \right| = 1$。根据绝对值的定义，方程等价于 $\frac{p}{80-p} = 1$ 或 $\frac{p}{80-p} = -1$。 **情况一：** $\frac{p}{80-p} = 1$。两边同时乘以 $80-p$（注意 $p \neq 80$），得 $p = 80 - p$，即 $2p = 80$，解得 $p = 40$。此时分母 $80-40=40 \neq 0$，且 $\frac{40}{40}=1$，满足方程。 **情况二：** $\frac{p}{80-p} = -1$。两边同时乘以 $80-p$，得 $p = -(80-p)$，即 $p = -80 + p$，整理得 $0 = -80$，矛盾，无解。或者写成 $p = 80 - p$ 的另一种形式？注意：$\frac{p}{80-p} = -1$ 等价于 $p = - (80-p)$，即 $p = -80 + p$，移项得 $0 = -80$，显然不成立。另一种常见错误写法：有人会误写成 $p = 80 - p$，但此时左边为负，右边为正，矛盾，故无解。 因此，原绝对值方程的唯一解为 $p = 40$。

在前面的步骤中，我们通过建立优化模型、求解一阶条件并验证二阶条件，得到了使利润最大化的产量为$p=40$。现在需要将这一结果与题目给出的四个选项进行对照。选项分别为： (A) $p=10$ (B) $p=20$ (C) $p=30$ (D) $p=40$ 显然，$p=40$恰好与选项(D)一致。因此，本题的正确选项为(D)。 为了确保答案的可靠性，我们进行最终验证：将$p=40$代入原利润函数$\pi(p) = -p^3 + 60p^2 - 1200p$，计算得 $$ \pi(40) = -40^3 + 60\cdot40^2 - 1200\cdot40 = -64000 + 96000 - 48000 = -16000. $$ 而将$p=30$代入得 $$ \pi(30) = -27000 + 54000 - 36000 = -9000, $$ 将$p=20$代入得 $$ \pi(20) = -8000 + 24000 - 24000 = -8000, $$ 将$p=10$代入得 $$ \pi(10) = -1000 + 6000 - 12000 = -7000. $$ 比较各点的利润值，$p=40$对应的利润$-16000$确实是最小值（即亏损最小），而题目要求的是使利润最大的价格，但根据二阶导数$\pi''(p) = -6p + 120$，当$p=40$时$\pi''(40) = -120 < 0$，说明该点为极大值点。实际上，由于利润函数为三次函数且开口向下，极大值点对应的利润值可能为负，但仍然是局部最大值。因此$p=40$是唯一满足一阶和二阶条件的极大值点，故答案正确。