💡 答案解析
**答案**: $\displaystyle\frac{\pi}{4}$ ．
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**解析**:
方法一 由对称性得
$$
\iint_{D}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{4} .
$$
方法二 由奇偶性得
$$
\begin{aligned}
\iint_{D}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{3} \cos ^{2} \theta \mathrm{~d} r \\
& =\frac{1}{4} \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta=\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}
\end{aligned}
$$
方法点评：本题考查二重积分的以下几个知识点：
📋 详细解题步骤
目标：利用对称性进一步转化
观察积分区域$D$，由题目条件可知$D$关于直线$y=x$对称（即若点$(x,y)\in D$，则$(y,x)\in D$）。对于这样的对称区域，被积函数具有轮换对称性：交换$x$与$y$后，积分区域不变，被积函数$f(x,y)=x^2$变为$f(y,x)=y^2$。因此，根据二重积分的轮换对称性，有
$$
\iint_D x^2\,dxdy = \iint_D y^2\,dxdy.
$$
将上述等式两边相加，得到
$$
2\iint_D x^2\,dxdy = \iint_D x^2\,dxdy + \iint_D y^2\,dxdy = \iint_D (x^2+y^2)\,dxdy.
$$
从而可以解出
$$
\iint_D x^2\,dxdy = \frac12 \iint_D (x^2+y^2)\,dxdy.
$$
这一转化将原本需要分别计算的$x^2$的积分转化为更容易处理的$x^2+y^2$的积分，为下一步使用极坐标变换奠定了基础。
公式：\iint_D x^2\,dxdy = \frac12 \iint_D (x^2+y^2)\,dxdy
提示：当积分区域关于直线y=x对称时，可交换x与y，利用轮换对称性简化计算。
目标：极坐标变换
将直角坐标下的二重积分转换为极坐标形式。令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则面积元 $dxdy = r\,dr\,d\theta$。被积函数 $x^2 + y^2$ 在极坐标下变为 $r^2$。积分区域为圆盘 $x^2 + y^2 \le 1$，对应极坐标下 $0 \le r \le 1$，$0 \le \theta \le 2\pi$。因此原积分化为：
$$\iint_{x^2+y^2\le 1} (x^2+y^2)\,dxdy = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r^2 \cdot r\,dr = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r^3\,dr.$$
先计算内层对 $r$ 的积分：
$$\int_{0}^{1} r^3\,dr = \left.\frac{r^4}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.$$
再计算外层对 $\theta$ 的积分：
$$\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}.$$
因此，极坐标变换后的积分值为 $\frac{\pi}{2}$。
公式：$$\iint_{x^2+y^2\le 1} (x^2+y^2)\,dxdy = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r^3\,dr = \frac{\pi}{2}$$
提示：极坐标变换时，务必加上雅可比行列式 $r$，并注意积分区域对应的 $r$ 和 $\theta$ 范围。
目标：计算累次积分
本步骤计算累次积分。原积分已化为极坐标形式：
$$
I = \frac12 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^3 \, dr.
$$
首先计算内层积分 $\int_0^1 r^3 \, dr$。由幂函数积分公式 $\int r^n \, dr = \frac{r^{n+1}}{n+1}$（$n \neq -1$），得
$$
\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac14.
$$
于是原积分化为
$$
I = \frac12 \int_0^{2\pi} \frac14 \, d\theta = \frac12 \cdot \frac14 \int_0^{2\pi} d\theta.
$$
计算外层积分 $\int_0^{2\pi} d\theta$，它等于 $2\pi$。因此
$$
I = \frac12 \cdot \frac14 \cdot 2\pi = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}.
$$
最终结果为 $\frac{\pi}{4}$。验证：原二重积分区域为圆盘 $x^2 + y^2 \leq 1$，被积函数为 $\sqrt{x^2 + y^2}$，积分值应为正数，$\frac{\pi}{4} \approx 0.785$，合理。
公式：$$\frac12 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^3 \, dr = \frac12 \cdot 2\pi \cdot \frac14 = \frac{\pi}{4}$$
提示：先算内层积分，再算外层积分，注意系数相乘时不要遗漏 $\frac12$。