2008年考研数学三第12题

给定微分方程为 $xy' + y = 0$。观察方程的形式，左边恰好是函数 $xy$ 对 $x$ 的导数。因为根据乘积求导法则，$(xy)' = x'y + xy' = 1 \cdot y + xy' = y + xy'$。因此原方程可以改写为 $(xy)' = 0$。这表明该方程是一个恰当微分方程，或者说可以化为全微分形式。通过这种改写，我们识别出方程的类型为可化为全微分的一阶线性齐次微分方程，其特点是左边可以写成某个函数乘积的导数。这种形式提示我们下一步可以直接积分求解。

由第一步已知，原方程可化为 $(xy)' = 0$。这是一个关于函数 $xy$ 的一阶导数等于零的方程。对等式两边关于自变量 $x$ 同时积分： $$\int (xy)' \, dx = \int 0 \, dx$$ 根据微积分基本定理，左边积分的结果就是 $xy$ 本身（加上一个积分常数），右边积分的结果是一个常数。因此得到： $$xy = C$$ 其中 $C$ 为任意常数。 接下来，为了得到函数 $y$ 的显式表达式，将上式两边同时除以 $x$（注意 $x \neq 0$，因为分母不能为零，且原微分方程的定义域通常排除 $x=0$ 点）： $$y = \frac{C}{x}$$ 这就是原微分方程的通解。它表示一族双曲线（当 $C \neq 0$ 时）或 $x$ 轴（当 $C=0$ 时，此时 $y=0$ 也是解，但需注意 $x=0$ 处无定义）。通解中只含有一个任意常数 $C$，符合一阶微分方程通解的结构。

我们已经得到微分方程的通解为 $y = \frac{C}{x}$，其中 $C$ 是任意常数。现在需要利用题目中给出的初始条件 $x=1$ 时 $y=1$ 来确定常数 $C$ 的具体值。将 $x=1$ 和 $y=1$ 代入通解表达式： $$1 = \frac{C}{1}$$ 即 $1 = C$，所以 $C = 1$。因此，满足初始条件的特解为 $y = \frac{1}{x}$。这一步的关键是正确代入初始条件并解出常数，注意代入时不要混淆变量位置。