2008年考研数学三第13题
📝 题目
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,2, \boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵，则 $\left|4 \boldsymbol{A}^{-1}-\boldsymbol{E}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**: 3 ．
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**解析**:
因为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,2$ ，所以 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值为 $1, \displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}$ ； 于是 $4 \boldsymbol{A}^{-1}-\boldsymbol{E}$ 的特征值为 $3,1,1$ ，故 $\left|4 \boldsymbol{A}^{-1}-\boldsymbol{E}\right|=3$ ． 方法点评：本题考查关联矩阵特征值之间的关系及特征值的基本性质。 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\lambda_{0} \boldsymbol{\alpha}$ ，又设 $f(\boldsymbol{A})=a_{n} \boldsymbol{A}^{n}+a_{n-1} \boldsymbol{A}^{n-1}+\cdots+a_{1} \boldsymbol{A}+a_{0} \boldsymbol{E}$ ，则
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求A^{-1}的特征值
已知矩阵$A$的特征值为$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 2$，$\lambda_3 = 2$。根据逆矩阵的特征值性质：若$\lambda$是$A$的特征值，且$A$可逆，则$\lambda^{-1}$是$A^{-1}$的特征值。因此，$A^{-1}$的特征值分别为$1^{-1} = 1$，$2^{-1} = \frac{1}{2}$，$2^{-1} = \frac{1}{2}$。注意，由于特征值2是二重根，对应的$A^{-1}$的特征值$\frac{1}{2}$也是二重根。所以$A^{-1}$的特征值为$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$。
公式：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值。
提示：牢记：可逆矩阵的特征值均不为0，逆矩阵的特征值是原特征值的倒数。
步骤 2/3
目标：求4A^{-1}-E的特征值
已知矩阵$A$的特征值为$\lambda_1=1$，$\lambda_2=\frac{1}{3}$（二重）。对于可逆矩阵$A$，若$\lambda$是$A$的特征值，则$\frac{1}{\lambda}$是$A^{-1}$的特征值（对应相同特征向量）。因此，$A^{-1}$的特征值为$1$（对应$\lambda=1$）和$3$（对应$\lambda=\frac{1}{3}$，二重）。
现在要求矩阵$4A^{-1}-E$的特征值。设$\mu$是$A^{-1}$的任一特征值，则$4\mu-1$是$4A^{-1}-E$的对应特征值（因为若$A^{-1}\boldsymbol{x}=\mu\boldsymbol{x}$，则$(4A^{-1}-E)\boldsymbol{x}=4\mu\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}=(4\mu-1)\boldsymbol{x}$）。
对$A^{-1}$的每个特征值计算：
- 当$\mu=1$时，$4\times1-1=3$；
- 当$\mu=3$（二重）时，$4\times3-1=11$。
因此，矩阵$4A^{-1}-E$的特征值为$3$（单重）和$11$（二重）。
公式：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\frac{1}{\lambda}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值；若 $\mu$ 是 $A^{-1}$ 的特征值，则 $4\mu-1$ 是 $4A^{-1}-E$ 的特征值。
提示：注意特征值的重数保持不变，且线性变换$f(\mu)=4\mu-1$直接作用在特征值上。
步骤 3/3
目标：计算行列式
已知矩阵$A$的三个特征值分别为$\lambda_1=3$，$\lambda_2=1$，$\lambda_3=1$。行列式$\det(A)$等于所有特征值的乘积，即
$$
\det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3 = 3 \times 1 \times 1 = 3.
$$
因此，所求行列式的值为$3$。
验证：由于特征值的乘积等于行列式，且特征值已正确求出，结果正确。
公式：$$\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i$$
提示：牢记行列式等于所有特征值（含重根）的乘积。
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