2008年考研数学三第14题

已知随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda = 1$ 的泊松分布。泊松分布具有一个重要性质：其数学期望与方差相等，且均等于参数 $\lambda$。因此，有 $E(X) = \lambda = 1$，$D(X) = \lambda = 1$。 我们需要计算 $E(X^2)$。根据方差与期望之间的关系公式： $$ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $$ 移项可得： $$ E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 $$ 将已知的 $D(X)=1$ 和 $E(X)=1$ 代入上式： $$ E(X^2) = 1 + 1^2 = 1 + 1 = 2 $$ 因此，$E(X^2) = 2$。这一结果在后续步骤中用于计算协方差或相关系数等统计量。

根据题目条件，随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，即 $X \sim P(\lambda)$。泊松分布的期望和方差均为 $\lambda$，因此 $E(X) = \lambda$，$D(X) = \lambda$。 我们需要计算 $E(X^2)$。利用方差公式 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，可得： $$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = \lambda + \lambda^2 = \lambda(1+\lambda).$$ 题目中已给出 $E(X^2) = 2$，因此有方程： $$\lambda(1+\lambda) = 2.$$ 解此一元二次方程：$\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$，因式分解得 $(\lambda+2)(\lambda-1)=0$，由于 $\lambda>0$，故 $\lambda = 1$。 于是 $X \sim P(1)$，即 $X$ 服从参数为 $1$ 的泊松分布。其概率分布为： $$P\{X=k\} = \frac{e^{-1} \cdot 1^k}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots$$ 题目要求计算 $P\{X = E(X^2)\}$，而 $E(X^2)=2$，因此所求概率即为 $P\{X=2\}$。 至此，我们将原问题转化为求泊松分布 $P(1)$ 中 $X=2$ 的概率，为下一步计算具体数值做好准备。

已知随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda=1$ 的泊松分布，其概率分布公式为： $$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots$$ 本步骤要求计算 $P(X=2)$，即 $k=2$ 时的概率。将 $\lambda=1$ 和 $k=2$ 代入公式： $$P(X=2) = \frac{e^{-1} \cdot 1^2}{2!}$$ 计算分子部分：$e^{-1}$ 是指数函数值，$1^2=1$，因此分子为 $e^{-1} \cdot 1 = e^{-1}$。 计算分母部分：$2! = 2 \times 1 = 2$。 因此得到： $$P(X=2) = \frac{e^{-1}}{2}$$ 此结果即为所求概率的表达式。注意，$e^{-1}$ 是自然常数 $e$ 的负一次方，约等于 $0.367879$，因此数值上 $P(X=2) \approx 0.18394$，但本步骤保留精确形式 $\frac{e^{-1}}{2}$。

本步骤的目标是将上一步得到的表达式 $\frac{e^{-1}}{2}$ 化简为最简形式。首先，根据负指数幂的定义，$e^{-1} = \frac{1}{e}$。因此，原式可写为： $$ \frac{e^{-1}}{2} = \frac{\frac{1}{e}}{2} = \frac{1}{2e}. $$ 化简后的结果 $\frac{1}{2e}$ 即为最终答案。为了验证结果的正确性，我们可以从原始问题出发进行检验。原题（2008年数学三第14题）通常涉及概率或极限计算，最终结果应为 $\frac{1}{2e}$。该结果在形式上已无法进一步化简，且分母 $2e$ 中的 $e$ 为自然常数，保留为无理数形式是标准做法。因此，最终答案为 $\frac{1}{2e}$。