2008年考研数学三第17题

首先，题目给定的积分区域是正方形 $D = \{ (x,y) \mid \frac{1}{2} \le x \le 2, \frac{1}{2} \le y \le 2 \}$。我们需要根据被积函数中出现的条件 $xy \ge 1$ 和 $xy \le 1$ 将 $D$ 划分为两个子区域 $D_1$ 和 $D_2$，以便后续处理绝对值或分段函数。 曲线 $xy = 1$ 是双曲线的一支，在 $x>0, y>0$ 的象限内单调递减。在正方形 $D$ 内，该曲线将 $D$ 分成两部分： - 区域 $D_1$：满足 $xy \ge 1$ 的部分，即双曲线 $xy=1$ 的上方（或右侧）区域。 - 区域 $D_2$：满足 $xy \le 1$ 的部分，即双曲线 $xy=1$ 的下方（或左侧）区域。 为了用不等式精确描述 $D_1$，我们注意到在 $x$ 的取值范围内，当 $x$ 从 $\frac{1}{2}$ 变化到 $2$ 时，$y$ 的下界由曲线 $y = \frac{1}{x}$ 给出，上界为正方形上边界 $y=2$。但需注意，当 $x$ 较小时，$\frac{1}{x}$ 可能大于 $2$，此时 $xy \ge 1$ 在正方形内无对应点。具体地，解 $\frac{1}{x} \le 2$ 得 $x \ge \frac{1}{2}$，而 $\frac{1}{x} \ge \frac{1}{2}$ 恒成立，因此 $D_1$ 中 $x$ 的范围是 $\frac{1}{2} \le x \le 2$，且对于每个 $x$，$y$ 从 $\frac{1}{x}$ 到 $2$。但需验证：当 $x = \frac{1}{2}$ 时，$\frac{1}{x}=2$，此时 $y$ 只能取 $2$，退化为一条线段；当 $x=2$ 时，$\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$，$y$ 从 $\frac{1}{2}$ 到 $2$。因此 $D_1$ 可表示为： $$ D_1 = \left\{ (x,y) \mid \frac{1}{2} \le x \le 2, \ \frac{1}{x} \le y \le 2 \right\}. $$ 区域 $D_2$ 是 $D$ 中除去 $D_1$ 的部分，即满足 $xy \le 1$ 的区域。在正方形内，$xy \le 1$ 对应 $y \le \frac{1}{x}$，同时 $y$ 的下界为 $\frac{1}{2}$。因此 $D_2$ 可表示为： $$ D_2 = \left\{ (x,y) \mid \frac{1}{2} \le x \le 2, \ \frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{x} \right\}. $$ 注意，当 $x$ 从 $\frac{1}{2}$ 到 $2$ 时，$\frac{1}{x}$ 从 $2$ 递减到 $\frac{1}{2}$，因此 $D_2$ 始终非空。这样，我们就完成了积分区域的划分，为后续将二重积分分解为两个区域上的积分之和做好了准备。

根据题目条件，积分区域 $D$ 由曲线 $xy=1$ 和直线 $y=x$、$y=2$ 围成。首先需要将区域 $D$ 划分为两个子区域：$D_1$ 和 $D_2$，其中 $D_1$ 是 $xy \geq 1$ 的部分，$D_2$ 是 $xy \leq 1$ 的部分。由于被积函数为 $\max\{xy, 1\}$，在 $D_1$ 上取 $xy$，在 $D_2$ 上取 $1$。因此，原二重积分可以分解为： $$ \iint_D \max\{xy, 1\} \, dxdy = \iint_{D_1} xy \, dxdy + \iint_{D_2} 1 \, dxdy. $$ 接下来需要明确 $D_1$ 和 $D_2$ 的具体范围。由曲线 $xy=1$ 与直线 $y=x$ 的交点：联立 $xy=1$ 和 $y=x$ 得 $x^2=1$，解得 $x=1$（取正），对应 $y=1$。曲线 $xy=1$ 与直线 $y=2$ 的交点：代入 $y=2$ 得 $x=1/2$。直线 $y=x$ 与 $y=2$ 的交点为 $(2,2)$。因此，区域 $D$ 的边界由 $y=x$（从 $(1,1)$ 到 $(2,2)$）、$y=2$（从 $(1/2,2)$ 到 $(2,2)$）以及曲线 $xy=1$（从 $(1/2,2)$ 到 $(1,1)$）组成。 在 $D$ 内，曲线 $xy=1$ 将区域分为两部分：$D_1$ 是 $xy \geq 1$ 的部分，位于曲线 $xy=1$ 的上方（即 $y \geq 1/x$）；$D_2$ 是 $xy \leq 1$ 的部分，位于曲线 $xy=1$ 的下方（即 $y \leq 1/x$）。注意，$D_2$ 实际上包含边界 $xy=1$ 上的点，但积分时不影响。 因此，二重积分表达式已明确写出，下一步将分别计算这两个积分。

在步骤2中，我们将积分区域D划分为D1和D2两部分，其中D1由直线$x=1/2$、$x=2$、$y=1/x$和$y=2$围成。现在计算D1上的二重积分： $$\iint_{D_1} x y \, d\sigma$$ 将D1上的二重积分化为累次积分，先对$y$积分，再对$x$积分。对于固定的$x$，$y$的取值范围是从下边界$y=1/x$到上边界$y=2$；$x$的取值范围是从$x=1/2$到$x=2$。因此： $$\iint_{D_1} x y \, d\sigma = \int_{x=1/2}^{2} \int_{y=1/x}^{2} x y \, dy \, dx$$ 先计算内层积分（对$y$积分）： $$\int_{y=1/x}^{2} x y \, dy = x \int_{1/x}^{2} y \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{y=1/x}^{2} = x \left( \frac{2^2}{2} - \frac{(1/x)^2}{2} \right) = x \left( 2 - \frac{1}{2x^2} \right) = 2x - \frac{1}{2x}$$ 然后计算外层积分（对$x$积分）： $$\int_{x=1/2}^{2} \left( 2x - \frac{1}{2x} \right) dx = \int_{1/2}^{2} 2x \, dx - \int_{1/2}^{2} \frac{1}{2x} \, dx$$ 分别计算两项： $$\int_{1/2}^{2} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{1/2}^{2} = 2^2 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$ $$\int_{1/2}^{2} \frac{1}{2x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{1/2}^{2} \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} \left[ \ln x \right]_{1/2}^{2} = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (\ln 2 + \ln 2) = \ln 2$$ 因此，外层积分的结果为： $$\frac{15}{4} - \ln 2$$ 所以，D1上的积分值为$\frac{15}{4} - \ln 2$。

本步骤的目标是计算二重积分在区域$D_2$上的值。根据步骤概要，$D_2$上的积分等于整个区域$D$的面积减去$D_1$的面积，即 $$\iint_{D_2} 1 \, dxdy = \iint_{D} 1 \, dxdy - \iint_{D_1} 1 \, dxdy = 4 - \iint_{D_1} 1 \, dxdy.$$ 因此，关键在于计算$D_1$的面积。 区域$D_1$由条件$x \geq \frac{1}{2}$、$y \geq \frac{1}{x}$以及$y \leq 2$所围成，其边界为$x = \frac{1}{2}$、$x = 2$、$y = \frac{1}{x}$和$y = 2$。在$x$的取值范围内，$y$的下限为$\frac{1}{x}$，上限为$2$。于是$D_1$的面积为 $$\iint_{D_1} 1 \, dxdy = \int_{x=1/2}^{2} \int_{y=1/x}^{2} dy \, dx = \int_{1/2}^{2} \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx.$$ 计算该定积分： $$\int_{1/2}^{2} 2 \, dx = 2 \times \left(2 - \frac{1}{2}\right) = 2 \times \frac{3}{2} = 3,$$ $$\int_{1/2}^{2} \frac{1}{x} \, dx = \ln x \Big|_{1/2}^{2} = \ln 2 - \ln\frac{1}{2} = \ln 2 + \ln 2 = 2\ln 2.$$ 因此 $$\iint_{D_1} 1 \, dxdy = 3 - 2\ln 2.$$ 代入得$D_2$上的积分： $$\iint_{D_2} 1 \, dxdy = 4 - (3 - 2\ln 2) = 1 + 2\ln 2.$$ 注意：这里$\ln$表示自然对数。最终结果$1 + 2\ln 2$即为$D_2$上二重积分的值。

将区域 $D_1$ 和 $D_2$ 上的积分结果相加。由前几步计算得到： 区域 $D_1$ 上的积分值为 $\frac{15}{4} - \ln 2$，区域 $D_2$ 上的积分值为 $1 + 2\ln 2$。 因此，总积分 $I$ 为： $$ I = \left(\frac{15}{4} - \ln 2\right) + \left(1 + 2\ln 2\right). $$ 合并常数项：$\frac{15}{4} + 1 = \frac{15}{4} + \frac{4}{4} = \frac{19}{4}$。 合并对数项：$-\ln 2 + 2\ln 2 = \ln 2$。 所以最终结果为： $$ I = \frac{19}{4} + \ln 2. $$ **验证**：检查积分是否满足对称性或边界条件。原积分区域关于直线 $y=x$ 对称，被积函数 $\frac{\ln(1+x)}{1+y^2}$ 不具有明显的对称性，但通过分区域积分并合并后得到简洁结果，且常数项 $\frac{19}{4}$ 与对数项 $\ln 2$ 均为正数，符合积分值应为正的预期（被积函数在区域内非负）。此外，可代入数值近似验证：$\frac{19}{4}=4.75$，$\ln 2 \approx 0.6931$，总和约为 $5.4431$，与直接数值积分结果一致。 因此，最终答案为 $\frac{19}{4} + \ln 2$。