📋 详细解题步骤
目标：证明（I）：将积分区间[t, t+2]拆分为三段
为了证明题目中的结论，首先对积分区间进行拆分。已知积分区间为 $[t, t+2]$，其中 $t$ 为任意实数。我们注意到区间长度固定为2，但起点 $t$ 可以变化。为了利用题目中可能给出的条件（例如 $f(x)$ 的周期性或对称性），需要将积分区间拆分成三个部分：$[t, 0]$、$[0, 2]$ 和 $[2, t+2]$。
具体拆分过程如下：
1. 当 $t < 0$ 时，区间 $[t, t+2]$ 包含 $0$ 和 $2$ 这两个点，因此可以自然拆分为 $[t, 0]$、$[0, 2]$ 和 $[2, t+2]$。
2. 当 $t \geq 0$ 时，区间 $[t, t+2]$ 可能不包含 $0$，但此时 $t+2 \geq 2$，因此仍然可以拆分为 $[t, 0]$（若 $t>0$ 则此区间为空，但形式上仍可写为 $\int_t^0 f(x)dx = -\int_0^t f(x)dx$，不过为了统一处理，我们采用定积分的可加性，将区间 $[t, t+2]$ 写成 $[t, 0] \cup [0, 2] \cup [2, t+2]$，其中当 $t>0$ 时 $[t,0]$ 为反向区间，但积分运算中仍然成立）。
因此，根据定积分的区间可加性，有：
$$
\int_t^{t+2} f(x) \, dx = \int_t^0 f(x) \, dx + \int_0^2 f(x) \, dx + \int_2^{t+2} f(x) \, dx.
$$
此步骤的关键在于将任意起点 $t$ 的积分转化为固定区间 $[0,2]$ 上的积分加上两个可能反向的积分，从而为后续利用 $f(x)$ 的性质（如周期性 $f(x+2)=f(x)$）做准备。注意，当 $t$ 不是整数时，$\int_t^0$ 和 $\int_2^{t+2}$ 的积分限可能反向，但通过调整符号后仍可统一处理。
公式：\int_t^{t+2} f(x) \, dx = \int_t^0 f(x) \, dx + \int_0^2 f(x) \, dx + \int_2^{t+2} f(x) \, dx
提示：拆分区间时，始终将固定区间[0,2]作为核心，其余部分通过变量代换处理。
目标：证明（I）：对第三段积分进行变量代换
为了将积分区间从 $[2, t+2]$ 变换到 $[0, t]$，我们令 $u = x - 2$。当 $x = 2$ 时，$u = 0$；当 $x = t+2$ 时，$u = t$。同时，$dx = du$。因此，第三段积分变为：
$$
\int_{2}^{t+2} f(x) \, dx = \int_{0}^{t} f(u+2) \, du.
$$
由于函数 $f$ 是以 $2$ 为周期的周期函数，即对任意实数 $x$ 有 $f(x+2) = f(x)$，所以 $f(u+2) = f(u)$。代入上式得：
$$
\int_{2}^{t+2} f(x) \, dx = \int_{0}^{t} f(u) \, du.
$$
这样，我们就将第三段积分化为了从 $0$ 到 $t$ 的积分，与第一段积分的积分区间相同，为后续合并积分做好了准备。
公式：$$\int_{2}^{t+2} f(x) \, dx = \int_{0}^{t} f(u) \, du$$
提示：变量代换后一定要同步更新积分上下限，并利用周期性简化被积函数。
目标：证明（I）：合并积分得到结果
由步骤2已得到：
$$
\int_{t}^{t+2} f(x) \, dx = \int_{t}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{t+2} f(x) \, dx.
$$
现在处理第一项和第三项。对第三项 $\int_{2}^{t+2} f(x) \, dx$ 作变量代换，令 $u = x - 2$，则当 $x = 2$ 时 $u = 0$，当 $x = t+2$ 时 $u = t$，且 $dx = du$，于是
$$
\int_{2}^{t+2} f(x) \, dx = \int_{0}^{t} f(u+2) \, du.
$$
利用题目条件 $f(x+2) = f(x)$（周期为2），有 $f(u+2) = f(u)$，故
$$
\int_{0}^{t} f(u+2) \, du = \int_{0}^{t} f(u) \, du.
$$
因此，原式中的第三项化为 $\int_{0}^{t} f(x) \, dx$（将积分变量 $u$ 改回 $x$）。
现在将第一项 $\int_{t}^{0} f(x) \, dx$ 与第三项 $\int_{0}^{t} f(x) \, dx$ 合并：
$$
\int_{t}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{t} f(x) \, dx = -\int_{0}^{t} f(x) \, dx + \int_{0}^{t} f(x) \, dx = 0.
$$
于是，
$$
\int_{t}^{t+2} f(x) \, dx = 0 + \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx.
$$
这就证明了结论（I）：对任意实数 $t$，有 $\int_{t}^{t+2} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx$，即该积分值与 $t$ 无关。
公式：\int_{t}^{t+2} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx
提示：利用周期性将不同区间积分转化到同一周期内，再合并抵消。
目标：证明（II）：利用（I）化简被积函数
由题目条件，已知（I）中结论：对任意实数 $t$，有 $\int_{t}^{t+2} f(s) \, ds = \int_{0}^{2} f(s) \, ds$。现在要证明（II）中的表达式 $G(x) = \int_{0}^{x} \left[ 2f(t) - \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right] dt$。
首先，根据（II）的定义，$G(x) = \int_{0}^{x} \left[ 2f(t) - \int_{t}^{t+2} f(s) \, ds \right] dt$。利用（I）的结论，将 $\int_{t}^{t+2} f(s) \, ds$ 替换为常数 $\int_{0}^{2} f(s) \, ds$，因为该积分与 $t$ 无关。于是被积函数中的第二项变为常数，即：
$$\int_{t}^{t+2} f(s) \, ds = \int_{0}^{2} f(s) \, ds.$$
代入 $G(x)$ 的表达式得：
$$G(x) = \int_{0}^{x} \left[ 2f(t) - \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right] dt.$$
这样，被积函数中仅包含 $f(t)$ 和一个常数项，简化了后续的积分运算。注意，这里的 $\int_{0}^{2} f(s) \, ds$ 是一个确定的常数，记作 $A = \int_{0}^{2} f(s) \, ds$，则 $G(x) = \int_{0}^{x} [2f(t) - A] \, dt$。
此步骤的关键在于利用（I）的周期性积分性质，将依赖于 $t$ 的积分转化为常数，从而将被积函数化简为 $2f(t)$ 减去一个常数。这为下一步求导或进一步分析 $G(x)$ 的性质奠定了基础。
公式：$$G(x) = \int_{0}^{x} \left[ 2f(t) - \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right] dt$$
提示：注意（I）的结论表明积分值与起点无关，直接代入即可。
目标：证明（II）：写出G(x+2)并拆分积分区间
首先，根据函数$G(x)$的定义：$$G(x)=\int_{0}^{x}\left[2f(t)-\int_{0}^{2}f(s)ds\right]dt$$将自变量$x$替换为$x+2$，得到：$$G(x+2)=\int_{0}^{x+2}\left[2f(t)-\int_{0}^{2}f(s)ds\right]dt$$为了利用$G(x)$的周期性或对称性质，我们将积分区间$[0,x+2]$拆分为两个子区间：$[0,x]$和$[x,x+2]$。于是：$$G(x+2)=\int_{0}^{x}\left[2f(t)-\int_{0}^{2}f(s)ds\right]dt+\int_{x}^{x+2}\left[2f(t)-\int_{0}^{2}f(s)ds\right]dt$$注意到第一个积分正是$G(x)$，因此：$$G(x+2)=G(x)+\int_{x}^{x+2}\left[2f(t)-\int_{0}^{2}f(s)ds\right]dt$$接下来，我们处理第二个积分。令$u=t-x$，则当$t=x$时$u=0$，当$t=x+2$时$u=2$，且$dt=du$，于是：$$\int_{x}^{x+2}\left[2f(t)-\int_{0}^{2}f(s)ds\right]dt=\int_{0}^{2}\left[2f(x+u)-\int_{0}^{2}f(s)ds\right]du$$由于$f(t)$是以$2$为周期的周期函数，即$f(x+u)=f(u)$（这里利用了周期函数的性质：$f(x+u)=f(u)$当$x$为整数倍周期时成立，但一般周期函数有$f(t+2)=f(t)$，因此$f(x+u)=f(u)$仅当$x$是$2$的整数倍时成立。实际上，对于任意$x$，$f(x+u)$不一定等于$f(u)$，但题目中$f$是以$2$为周期的周期函数，所以$f(x+u)=f(u)$当$x$为$2$的整数倍时成立。然而本题中$x$是任意实数，因此不能直接使用该等式。正确的做法是利用周期函数的性质：$f(x+u)=f(u)$仅当$x$是$2$的整数倍，但这里$x$是任意实数，所以我们需要保留$f(x+u)$的形式。实际上，后续步骤会利用$G(x)$的周期性，这里只需写出拆分后的表达式即可。因此，最终得到：$$G(x+2)=G(x)+\int_{0}^{2}\left[2f(x+u)-\int_{0}^{2}f(s)ds\right]du$$这就是本步骤的关键结果。
公式：$$G(x+2)=\int_{0}^{x}\left[2f(t)-\int_{0}^{2}f(s)ds\right]dt+\int_{x}^{x+2}\left[2f(t)-\int_{0}^{2}f(s)ds\right]dt$$
提示：拆分积分区间时，注意保持被积函数形式不变，换元时正确变换积分限。
目标：证明（II）：证明第二段积分为零
要证明第二段积分为零，即证明：
$$
\int_{x}^{x+2} \left[ 2f(t) - \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right] dt = 0.
$$
令 $h(t) = 2f(t) - \int_{0}^{2} f(s) \, ds$。由于 $f(t)$ 是周期为 $2$ 的连续函数，故 $h(t)$ 也是周期为 $2$ 的函数。对于周期为 $T$ 的函数，其在一个周期长度上的定积分与起点无关，即对任意实数 $x$，有
$$
\int_{x}^{x+T} h(t) \, dt = \int_{0}^{T} h(t) \, dt.
$$
这里 $T=2$，因此
$$
\int_{x}^{x+2} h(t) \, dt = \int_{0}^{2} h(t) \, dt.
$$
计算右端积分：
$$
\int_{0}^{2} h(t) \, dt = \int_{0}^{2} \left[ 2f(t) - \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right] dt = 2\int_{0}^{2} f(t) \, dt - \int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right) dt.
$$
注意第二项中 $\int_{0}^{2} f(s) \, ds$ 是一个常数（与 $t$ 无关），所以
$$
\int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right) dt = \left( \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right) \cdot \int_{0}^{2} 1 \, dt = 2 \int_{0}^{2} f(s) \, ds.
$$
因此
$$
\int_{0}^{2} h(t) \, dt = 2\int_{0}^{2} f(t) \, dt - 2\int_{0}^{2} f(s) \, ds = 0.
$$
从而对任意 $x$，有
$$
\int_{x}^{x+2} \left[ 2f(t) - \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right] dt = 0.
$$
这就完成了第二段积分为零的证明。
公式：\int_{x}^{x+2} \left[ 2f(t) - \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right] dt = \int_{0}^{2} \left[ 2f(t) - \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right] dt = 0
提示：利用周期函数的性质，将任意区间上的积分转化为固定区间上的积分，再直接计算。
目标：证明（II）：得出结论
由步骤6已得 $G(x+2) = \int_{0}^{x} \left[ 2f(t) - \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right] dt$。注意到该表达式与 $G(x)$ 的定义 $G(x) = \int_{0}^{x} \left[ 2f(t) - \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right] dt$ 完全相同，因此 $G(x+2) = G(x)$ 对所有实数 $x$ 成立。根据周期函数的定义，若存在非零常数 $T$ 使得对定义域内所有 $x$ 有 $F(x+T)=F(x)$，则 $F(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数。这里 $T=2$，故 $G(x)$ 是周期为 $2$ 的周期函数。证毕。
最终结论：$G(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数。
公式：G(x+2) = \int_{0}^{x} \left[ 2f(t) - \int_{0}^{2} f(s) \, ds \right] dt = G(x)
提示：注意 $G(x+2)$ 的表达式经过变量代换后恰好等于 $G(x)$，直接利用定义即可。