2008年考研数学三第19题

解答题 · 10分

📝 题目

设银行存款的年利率为 $r=0.05$ ，并依年复利计算。某基金会希望通过存款 $A$ 万元实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，$\cdots$ ，第 $n$ 年提取 $(10+9 n)$ 万元，并能按此规律一直提取下去，问 $A$ 至少应为多少万元？

💡 答案解析

**答案**: 见解析

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**解析**:

由题意得

$$ A \geqslant 19(1+r)^{-1}+28(1+r)^{-2}+\cdots+(10+9 n)(1+r)^{-n}+\cdots $$

而 $19(1+r)^{-1}+28(1+r)^{-2}+\cdots+(10+9 n)(1+r)^{-n}+\cdots$

$$ \begin{aligned} & =10 \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{n}+9 \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{1+r}\right)^{n} \\ & =10 \frac{\frac{1}{1+r}}{1-\frac{1}{1+r}}+\frac{9}{1+r} \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{1+r}\right)^{n-1} \\ & =\frac{10}{r}+\frac{9}{1+r} \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{1+r}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

令 $S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} \quad(-1\lt x\lt 1)$ ， 则 $S(x)=\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}\right)^{\prime}=\left(\displaystyle\frac{x}{1-x}\right)^{\prime}=\displaystyle\frac{1}{(1-x)^{2}}$ ， 所以 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\displaystyle\frac{1}{1+r}\right)^{n-1}=S\left(\displaystyle\frac{1}{1+r}\right)=\displaystyle\frac{(1+r)^{2}}{r^{2}}$ ， 于是 $A \geqslant \displaystyle\frac{10}{r}+\displaystyle\frac{9(1+r)}{r^{2}}=3980$（万元）．

## （20）【解】（I）方法一：数学归纳法

当 $n=1$ 时，$|\boldsymbol{A}|=D_{1}=2 a$ ，结论显然成立； 设当 $n=k$ 时，$|\boldsymbol{A}|=D_{k}=(k+1) a^{k}$ ； 当 $n=k+1$ 时，$|\boldsymbol{A}|=D_{k+1}=2 a D_{k}-a^{2} D_{k-1}=2 a(k+1) a^{k}-k a^{k+1}$

$$ =2(k+1) a^{k+1}-k a^{k+1}=(k+2) a^{k+1}, $$

由数学归纳法，对一切的自然数 $n$ ，有 $|\boldsymbol{A}|=(n+1) a^{n}$ ． 方法二 $|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccccc}2 a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a^{2} & 2 a & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}2 a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{3 a}{2} & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & a^{2} & 2 a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 a\end{array}\right|$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：建立现值不等式
首先明确问题背景：某人计划在银行存入一笔款项A，存款年利率为r（复利），之后每年年末从银行提取款项，第n年提取的金额为$10+9n$（单位：万元），提取无限期（$n=1,2,3,\ldots$）。要求存款A至少应满足：存入的款项经过复利增值后，能够覆盖所有未来提取额的现值之和。 根据复利折现原理，未来第n年末提取的$10+9n$元，其现值（即现在需要投入的本金）为$(10+9n)(1+r)^{-n}$。因为利率r>0，折现因子$(1+r)^{-n}$随n增大而减小。 所有未来提取额的现值之和为无穷级数： $$S = \sum_{n=1}^{\infty} (10+9n)(1+r)^{-n}.$$ 为了保证存款足够支付所有提取，存款A必须不小于这个现值总和，即： $$A \geq \sum_{n=1}^{\infty} (10+9n)(1+r)^{-n}.$$ 这就是本步骤要建立的现值不等式。后续步骤将对该级数求和，并进一步求解A的最小值或满足的条件。 注意：这里假设利率r为常数，且提取发生在每年年末，存款发生在年初（或即时）。如果提取发生在年初，则折现指数需相应调整，但题目通常默认年末提取。
公式：A \geq \sum_{n=1}^{\infty} (10+9n)(1+r)^{-n}
提示：将未来现金流折现到同一时间点（通常为现在），再与初始存款比较。
步骤 2/5
目标：拆分级数为两部分
原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10+9n}{(1+r)^n}$。为了分别处理常数项和线性项，我们将通项拆分为两个部分： $$ \frac{10+9n}{(1+r)^n} = 10 \cdot \frac{1}{(1+r)^n} + 9 \cdot \frac{n}{(1+r)^n}. $$ 因此，原级数可以写成两个级数之和： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{10+9n}{(1+r)^n} = 10 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1+r)^n} + 9 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(1+r)^n}. $$ 这里，第一个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1+r)^n}$ 是公比为 $\frac{1}{1+r}$ 的等比级数（几何级数），第二个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(1+r)^n}$ 是形如 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的级数，其中 $x = \frac{1}{1+r}$。这种拆分是后续利用已知求和公式的基础，使得我们可以分别计算常数项部分和线性项部分的和。注意，拆分后的两个级数在 $r>0$ 时均收敛，因为公比 $|x| = \frac{1}{1+r} < 1$。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10+9n}{(1+r)^n} = 10 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1+r)^n} + 9 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(1+r)^n}
提示：拆分时注意系数对应：常数项10对应等比级数，线性项9n对应n倍等比级数。
步骤 3/5
目标：计算常数部分级数
本步骤的目标是计算常数部分级数，即求和式 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10}{(1+0.05)^n}$。首先，将常数因子10提取到求和号外，得到 $10 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1.05)^n}$。这是一个等比级数，公比为 $q = \frac{1}{1.05}$，首项为 $a = \frac{1}{1.05}$。等比级数求和公式为：当 $|q|<1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} a q^{n-1} = \frac{a}{1-q}$。这里 $n$ 从1开始，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1.05)^n} = \frac{\frac{1}{1.05}}{1 - \frac{1}{1.05}}$。化简分母：$1 - \frac{1}{1.05} = \frac{1.05 - 1}{1.05} = \frac{0.05}{1.05}$。因此，原式 $= \frac{\frac{1}{1.05}}{\frac{0.05}{1.05}} = \frac{1}{0.05} = 20$。最后乘以10，得到 $10 \times 20 = 200$。所以常数部分级数的值为200。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10}{(1+0.05)^n} = 10 \cdot \frac{\frac{1}{1.05}}{1 - \frac{1}{1.05}} = 10 \cdot \frac{1}{0.05} = 200$$
提示：提取常数因子后，直接套用等比级数求和公式，注意首项和公比的确定。
步骤 4/5
目标：计算线性部分级数
本步骤的目标是计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的和，其中 $x = \frac{1}{1+r}$。首先，将级数改写为 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = x \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$。令 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$，这是一个幂级数，其和函数可以通过已知公式求得。我们知道，对于 $|x| < 1$，有 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$。两边对 $x$ 求导，得到 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$。因此，$S(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$。将 $x = \frac{1}{1+r}$ 代入，得 $S = \frac{1}{\left(1 - \frac{1}{1+r}\right)^2} = \frac{1}{\left(\frac{r}{1+r}\right)^2} = \frac{(1+r)^2}{r^2}$。于是，原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = x \cdot S = \frac{1}{1+r} \cdot \frac{(1+r)^2}{r^2} = \frac{1+r}{r^2}$。注意，题目中可能涉及一个系数 $9$（来自前一步骤的因子），因此线性部分级数的结果为 $9 \cdot \frac{1+r}{r^2} = \frac{9(1+r)}{r^2}$。至此，线性部分级数的计算完成。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}, \quad |x| < 1$$
提示：利用已知幂级数求和公式，通过求导快速得到结果，注意代入后的代数化简。
步骤 5/5
目标：代入r值计算总和
将已知的利率 $r = 0.05$ 代入前两步计算得到的两部分结果中。 **第一部分（常数部分）**： 前一步已求得常数部分为 $200$ 万元，该值与 $r$ 无关，因此直接保留： $$ 200 \text{ 万元} $$ **第二部分（线性部分）**： 前一步得到的线性部分表达式为 $\frac{9 \times (1+r)}{0.0025}$。代入 $r = 0.05$： $$ \frac{9 \times (1+0.05)}{0.0025} = \frac{9 \times 1.05}{0.0025} $$ 先计算分子：$9 \times 1.05 = 9.45$。 再除以分母：$9.45 \div 0.0025 = 3780$。 因此线性部分为 $3780$ 万元。 **求和得到最终结果**： 将两部分相加： $$ 200 + 3780 = 3980 \text{ 万元} $$ **最终答案验证**： 根据题意，$A$ 至少为 $3980$ 万元。检查计算过程： - 常数部分 $200$ 万元正确。 - 线性部分 $\frac{9 \times 1.05}{0.0025} = \frac{9.45}{0.0025} = 3780$ 万元，计算无误。 - 总和 $200+3780=3980$ 万元，符合预期。 因此，$A$ 的最小值为 $3980$ 万元。
公式：A = 200 + \frac{9 \times (1+0.05)}{0.0025} = 3980 \text{ 万元}
提示：代入数值时仔细计算，注意小数除法可转化为整数除法简化。

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