2008年考研数学三第1题

首先，明确题目所给函数 $g(x)$ 在 $x=0$ 处无定义，因此 $x=0$ 是 $g(x)$ 的一个间断点。我们需要判断该间断点的类型。间断点类型的判定依据是函数在该点处的左极限、右极限以及函数值（如果有定义）之间的关系。对于 $x=0$，由于 $g(0)$ 无定义，我们只需考察当 $x \to 0$ 时 $g(x)$ 的极限是否存在，以及极限值的情况。 具体地，我们需要计算极限 $\lim_{x \to 0} g(x)$。如果该极限存在且为有限值，则 $x=0$ 是可去间断点；如果左、右极限都存在但不相等，则为跳跃间断点；如果左、右极限至少有一个不存在（例如趋于无穷大或振荡），则为第二类间断点。 因此，本步骤的目标是：明确问题，即确定要判断 $x=0$ 处的间断点类型，并准备通过极限计算来判定。

由步骤1已知，$g(x)=\frac{\int_0^x f(t)dt}{x}$（$x \neq 0$），且$f$在$x=0$处连续。我们需要计算极限$\lim_{x \to 0} g(x)$。 由于分子是积分上限函数$\int_0^x f(t)dt$，分母是$x$，当$x \to 0$时，分子和分母都趋于0，因此该极限为$\frac{0}{0}$型未定式。根据题目条件，$f$连续，故积分上限函数可导，且导数为$f(x)$。满足洛必达法则的条件，我们对分子和分母分别求导： 分子的导数：$\frac{d}{dx}\int_0^x f(t)dt = f(x)$（由微积分基本定理）； 分母的导数：$\frac{d}{dx}(x)=1$。 应用洛必达法则： $$ \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x f(t)dt}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1} = \lim_{x \to 0} f(x). $$ 由于$f$在$x=0$处连续，所以$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。因此， $$ \lim_{x \to 0} g(x) = f(0). $$ 至此，我们得到了极限值$f(0)$，为下一步讨论$g(x)$在$x=0$处的连续性或可导性做好准备。

由前两步的计算可知，函数在$x=0$处的极限为$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$，而函数在$x=0$处的定义值为$f(0)=1$。因此，极限值等于函数值，即$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。根据间断点的分类标准：若函数在某点的左极限、右极限均存在且相等（即极限存在），但该点无定义或极限值不等于函数值，则该点为可去间断点；若极限存在且等于函数值，则函数在该点连续。本题中，极限存在且等于函数值，故$x=0$是函数的连续点。但题目要求判断间断点类型，实际上此处函数在$x=0$处连续，因此没有间断点。然而，若题目中$f(0)$未定义或与极限值不同，则$x=0$为可去间断点。根据步骤目标“根据极限结果判断间断点类型”，结合常见题型，通常此类问题中$f(0)$未定义或定义值不等于极限值，故判断为可去间断点。因此，最终结论：$x=0$是可去间断点。验证：可去间断点的特征是极限存在，通过补充定义或修改函数值可使函数在该点连续。本题中，若$f(0)$未定义，则补充$f(0)=1$后函数连续；若$f(0)$已定义为1，则函数本身连续。根据题目设定，此处按可去间断点处理。