2008年考研数学三第2题

首先，我们处理积分 $\int_0^a x f'(x) \, dx$。注意到被积函数中含有 $f'(x)$，而 $x$ 是一个简单因子，这提示我们可以使用分部积分法。分部积分公式为 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。我们令 $u = x$，$dv = f'(x) \, dx$。则 $du = dx$，$v = f(x)$。于是，\[\int_0^a x f'(x) \, dx = \int_0^a x \, d f(x) = \left[ x f(x) \right]_0^a - \int_0^a f(x) \, dx.\]计算边界项：$\left[ x f(x) \right]_0^a = a f(a) - 0 \cdot f(0) = a f(a)$。因此，原积分化为 $a f(a) - \int_0^a f(x) \, dx$。这一步将含有导数的积分转化为关于 $f(x)$ 本身的积分，为后续利用已知条件（如 $f(x)$ 满足的微分方程）打下基础。

在直角坐标系中，设函数 $y = f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上连续且非负。点 $A$ 的坐标为 $(a, 0)$，点 $C$ 的坐标为 $(0, f(a))$，点 $B$ 的坐标为 $(a, f(a))$。则矩形 $OBAC$ 的四个顶点分别为：原点 $O(0,0)$，点 $B(a, f(a))$，点 $A(a,0)$，点 $C(0, f(a))$。该矩形的底边 $OA$ 的长度为 $a$（从 $O$ 到 $A$ 沿 $x$ 轴方向），高 $AC$ 的长度为 $f(a)$（从 $A$ 到 $B$ 沿 $y$ 轴方向，即 $f(a)-0 = f(a)$）。根据矩形面积公式：面积 = 底 × 高，因此矩形 $OBAC$ 的面积为 $a \cdot f(a)$。所以，$a f(a)$ 的几何意义就是：以 $OA$ 为底、$AC$ 为高的矩形 $OBAC$ 的面积。这个矩形位于 $x$ 轴上方，其左边与 $y$ 轴重合，下边与 $x$ 轴重合，右边过点 $x=a$，上边过点 $y=f(a)$。在后续步骤中，这个矩形面积将与曲边梯形面积进行比较，从而得出积分中值定理的几何解释。

在本题中，函数$f(x)$满足$f(x) > 0$且$f'(x) < 0$，即函数在区间$[0,a]$上单调递减且恒为正。定积分$\int_0^a f(x) \, dx$的几何意义是：由曲线$y = f(x)$、$x$轴（即直线$y=0$）、以及两条竖直线$x=0$和$x=a$所围成的平面图形的面积。具体来说，这个图形是一个曲边梯形，其左边界为$x=0$，右边界为$x=a$，下边界为$x$轴，上边界为曲线$y=f(x)$。在题目中，点$O$为原点$(0,0)$，点$A$为$(a,0)$，点$B$为$(a, f(a))$，点$D$为$(0, f(0))$，因此该曲边梯形记为$OBAD$（按顺时针或逆时针顺序）。注意，由于$f(x)$单调递减，曲线从左到右逐渐下降，但始终位于$x$轴上方，因此该曲边梯形的面积就是$\int_0^a f(x) \, dx$。这一几何解释是后续步骤中比较面积大小的重要基础。

在前一步中，我们已经将原积分表示为矩形面积减去曲边梯形面积。矩形由点$A(0,0)$、$B(1,0)$、$C(1,1)$、$D(0,1)$围成，其面积为$1 \times 1 = 1$。曲边梯形由$x$轴、直线$x=1$、直线$y=1$以及曲线$y = x^2$围成，其面积即为定积分$\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$。因此，矩形面积减去曲边梯形面积得到： $$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$ 这个差值对应的几何图形是矩形中位于曲边梯形上方的部分，即由曲线$y = x^2$、直线$y=1$以及直线$x=0$、$x=1$所围成的区域。该区域是一个曲边三角形，顶点为$A(0,1)$、$C(1,1)$和曲线上的点$D(0,0)$？实际上，更准确的描述是：该区域的上边界是直线$y=1$，下边界是曲线$y=x^2$，左边界是$y$轴（$x=0$），右边界是直线$x=1$。这个区域通常被称为曲边三角形$ACD$，其中$A(0,1)$、$C(1,1)$、$D(1,0)$？注意：题目中曲边三角形$ACD$的顶点应为$A(0,1)$、$C(1,1)$和曲线与$y$轴的交点？实际上，根据常见设定，曲边三角形$ACD$是由点$A(0,1)$、$C(1,1)$和曲线$y=x^2$上的点$D(0,0)$？但$D(0,0)$在$y$轴上，而曲线$y=x^2$在$x=0$时$y=0$，所以$D$应为$(0,0)$。然而，这样构成的曲边三角形$ACD$的边界是：从$A$到$C$的水平线段，从$C$到$D$的竖直线段$x=1$（从$y=1$到$y=0$），以及从$D$到$A$的曲线$y=x^2$（从$x=0$到$x=1$）。但我们的差值区域是上边界$y=1$，下边界$y=x^2$，左边界$x=0$，右边界$x=1$，这与曲边三角形$ACD$完全一致。因此，原积分$\int_0^1 (1 - x^2) \, dx$的值就等于这个曲边三角形$ACD$的面积，即$\frac{2}{3}$。

综合前四步的分析，我们已对四个选项逐一进行了判断。 - 选项（A）：由题设条件无法推出$f(x)$在$x=0$处可导，故（A）错误。 - 选项（B）：同样，$f(x)$在$x=0$处不一定可导，故（B）错误。 - 选项（C）：我们已证明，若$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0)$存在；反之，若$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$存在，设该极限为$A$，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = A$，由导数定义知$f'(0)=A$，故$f(x)$在$x=0$处可导。因此（C）正确。 - 选项（D）：$f(x)$在$x=0$处可导不能推出$f(x)$在$x=0$的某邻域内连续，反例：$f(x)=x^2 D(x)$，其中$D(x)$为狄利克雷函数，在$x=0$处可导，但在任何邻域内不连续，故（D）错误。 综上所述，唯一正确的选项是（C）。 **最终答案验证**：令$f(x)=x$，则$f(0)=0$，$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$，且$f'(0)=1$，满足（C）的等价关系。再令$f(x)=x^2$，同样满足。因此（C）成立。