💡 答案解析
**答案**: （D）．
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**解析**:
由 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cc}\lambda-1 & -2 \\ -2 & \lambda-1\end{array}\right|=\lambda^{2}-2 \lambda-3=0$ ，得 $\lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=3$ ，即 $\boldsymbol{A}$ 的正、负惯性指数都是 1 ．
对 $\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right)$ ，由 $\left|\begin{array}{cc}\lambda+2 & -1 \\ -1 & \lambda+2\end{array}\right|=\lambda^{2}+4 \lambda+3=0$ ，得特征值为 $\lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=-3$ ，正惯性指数为 0 ，负惯性指数为 2 ，不与 $\boldsymbol{A}$ 合同；
对 $\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$ ，由 $\left|\begin{array}{cc}\lambda-2 & 1 \\ 1 & \lambda-2\end{array}\right|=\lambda^{2}-4 \lambda+3=0$ ，得特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=3$ ，正惯性指数为 2 ，负惯性指数为 0 ，不与 $\boldsymbol{A}$ 合同；
对 $\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ ，由 $\left|\begin{array}{cc}\lambda-2 & -1 \\ -1 & \lambda-2\end{array}\right|=\lambda^{2}-4 \lambda+3=0$ ，得特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=3$ ，正惯性指数为 2 ，负惯性指数为 0 ，不与 $\boldsymbol{A}$ 合同；
对 $\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1\end{array}\right)$ ，由 $\left|\begin{array}{cc}\lambda-1 & 2 \\ 2 & \lambda-1\end{array}\right|=\lambda^{2}-2 \lambda-3=0$ ，得特征值为 $\lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=3$ ，正、负惯性指数都是 1 ，与 $\boldsymbol{A}$ 合同，应选（D）。
📋 详细解题步骤
目标：计算选项(A)矩阵的特征值
选项(A)的矩阵为 $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$。为求其特征值，需解特征方程 $\det(\lambda I - A) = 0$。
首先构造 $\lambda I - A$：
$$
\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda + 2 & -1 \\ -1 & \lambda + 2 \end{pmatrix}.
$$
计算行列式：
$$
\det(\lambda I - A) = (\lambda + 2)(\lambda + 2) - (-1)(-1) = (\lambda + 2)^2 - 1.
$$
令其等于零：
$$
(\lambda + 2)^2 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad (\lambda + 2)^2 = 1.
$$
解得：
$$
\lambda + 2 = \pm 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = -1, \; \lambda_2 = -3.
$$
因此矩阵 $A$ 的特征值为 $-1$ 和 $-3$，均为负数。由此可得正惯性指数为 $0$，负惯性指数为 $2$。而题目中矩阵 $A$ 的正惯性指数为 $1$，负惯性指数为 $1$，故选项(A)与 $A$ 不合同。
公式：$$\det(\lambda I - A) = (\lambda + 2)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = -1,\; \lambda_2 = -3$$
提示：注意特征方程中 $\lambda I - A$ 的构造，避免符号错误。
目标：计算选项(B)矩阵的特征值
选项(B)的矩阵为 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。
首先写出特征多项式：
$$
\det(\lambda I - B) = \det\begin{pmatrix} \lambda-1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & -1 \\ 0 & -1 & \lambda-2 \end{pmatrix}.
$$
按第一行展开，得：
$$
(\lambda-1) \cdot \det\begin{pmatrix} \lambda-2 & -1 \\ -1 & \lambda-2 \end{pmatrix} = (\lambda-1)\big[(\lambda-2)^2 - 1\big].
$$
计算小行列式：
$$
(\lambda-2)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda-1)(\lambda-3).
$$
因此特征多项式为：
$$
(\lambda-1)^2 (\lambda-3) = 0.
$$
解得特征值：$\lambda_1 = 1$（二重根），$\lambda_2 = 3$（单根）。
由于所有特征值均为正，正惯性指数为 $2$（特征值正数的个数，重根按重数计），负惯性指数为 $0$。
而题目中矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=1, \lambda_3=1$（由之前步骤可知），正惯性指数为 $3$，负惯性指数为 $0$。
因此选项(B)的正惯性指数为 $2$，与 $A$ 的正惯性指数 $3$ 不同，故 $B$ 不与 $A$ 合同。
公式：$$\det(\lambda I - B) = (\lambda-1)^2(\lambda-3) = 0$$
提示：计算特征多项式时，优先利用矩阵的稀疏结构（如第一行只有一个非零元）简化展开。
目标：计算选项(C)矩阵的特征值
选项(C)的矩阵为 $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。
首先写出特征多项式：
$$\det(\lambda I - C) = \det\begin{pmatrix} \lambda-1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & -1 \\ 0 & -1 & \lambda-2 \end{pmatrix}.$$
按第一行展开，得
$$(\lambda-1) \cdot \det\begin{pmatrix} \lambda-2 & -1 \\ -1 & \lambda-2 \end{pmatrix} = (\lambda-1)\big[(\lambda-2)^2 - 1\big].$$
计算小行列式：
$$(\lambda-2)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda-1)(\lambda-3).$$
因此特征多项式为
$$(\lambda-1)(\lambda-1)(\lambda-3) = (\lambda-1)^2(\lambda-3).$$
令其等于零，解得特征值：$\lambda_1 = 1$（二重根），$\lambda_2 = 3$（单根）。
由于矩阵 $C$ 是实对称矩阵，特征值均为实数，且正特征值个数为2（1和3），负特征值个数为0，故正惯性指数为2，负惯性指数为0。
而题目中矩阵 $A$ 的特征值为 $1,1,2$，正惯性指数为3（所有特征值均为正），负惯性指数为0。因此选项(C)的正惯性指数与 $A$ 不同，故不合同。
公式：$$\det(\lambda I - C) = (\lambda-1)^2(\lambda-3)$$
提示：计算特征多项式时先按第一行展开可简化运算，注意重根的处理。
目标：计算选项(D)矩阵的特征值并判断
首先写出选项(D)对应的矩阵：
$$D = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$
计算特征值，解特征方程 $\det(D - \lambda I) = 0$：
$$\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)^2 - 4 = 0$$
展开得：
$$\lambda^2 - 2\lambda + 1 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$$
因式分解：
$$(\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$$
解得特征值 $\lambda_1 = -1$，$\lambda_2 = 3$。
特征值中正数个数为1（3），负数个数为1（-1），因此正惯性指数 $p=1$，负惯性指数 $q=1$。
题目中矩阵A的特征值已在前序步骤中求得为 $\lambda_1 = -1$，$\lambda_2 = 3$，正惯性指数 $p=1$，负惯性指数 $q=1$。
比较可知，选项(D)的特征值及惯性指数与矩阵A完全相同，因此选项(D)正确。
最终答案验证：矩阵A与选项(D)的特征值均为-1和3，正负惯性指数均为1，故(D)是正确答案。
公式：$$\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)^2 - 4 = 0$$
提示：计算二阶矩阵特征值时，直接使用公式 $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)=0$ 更快。