2008年考研数学三第7题

首先，我们需要明确随机变量$Z$的分布函数的定义。对于任意实数$x$，随机变量$Z$的分布函数$F_Z(x)$定义为事件$\{Z \leq x\}$的概率，即 $$F_Z(x) = P\{Z \leq x\}.$$ 在本问题中，$Z$是由两个随机变量$X$和$Y$构成的函数，具体形式需要根据题目条件确定（此处假设题目中$Z = X/Y$或类似形式，但为保持通用性，我们仅写出定义式）。分布函数$F_Z(x)$是一个单调不减、右连续的函数，且满足$\lim_{x \to -\infty} F_Z(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F_Z(x) = 1$。 为了计算$P\{Z \leq x\}$，我们需要将事件$\{Z \leq x\}$转化为关于$X$和$Y$的事件，然后利用$X$和$Y$的联合分布进行积分或求和。例如，若$Z = X/Y$且$Y > 0$，则$\{Z \leq x\} = \{X \leq xY\}$；若$Y$可能取负值，则需要分情况讨论。 因此，本步骤的核心是写出分布函数的定义式，为后续的积分区域划分和概率计算奠定基础。

本步骤的目标是将随机变量$Z=\max\{X,Y\}$的分布函数$F_Z(x)$转化为关于$(X,Y)$的联合事件概率。根据最大值的定义，事件$\{Z \leq x\}$等价于$X$和$Y$同时不超过$x$，即$\{X \leq x\}$与$\{Y \leq x\}$同时发生。因此，有： $$F_Z(x) = P\{Z \leq x\} = P\{X \leq x,\; Y \leq x\}.$$ 这里$P\{X \leq x,\; Y \leq x\}$是二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数在点$(x,x)$处的值，记作$F_{X,Y}(x,x)$。若$X$与$Y$相互独立，则联合分布函数可分解为边缘分布函数的乘积： $$F_Z(x) = F_X(x) \cdot F_Y(x).$$ 若$X$与$Y$不独立，则需利用给定的联合分布或条件分布进一步计算。此转化是求解最大值分布函数的关键步骤，它将一个一维随机变量的问题转化为二维联合概率问题，为后续利用已知分布或密度函数进行计算奠定了基础。

由于随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，根据独立性的定义，对于任意实数 $x$，事件 $\{X \leq x\}$ 与事件 $\{Y \leq x\}$ 相互独立。因此，联合分布函数可以分解为边缘分布函数的乘积： $$ P\{X \leq x, Y \leq x\} = P\{X \leq x\} \cdot P\{Y \leq x\}. $$ 设 $F_X(x) = P\{X \leq x\}$ 为 $X$ 的分布函数，$F_Y(x) = P\{Y \leq x\}$ 为 $Y$ 的分布函数，则上式可写为： $$ P\{X \leq x, Y \leq x\} = F_X(x) \cdot F_Y(x). $$ 在本题中，$X$ 与 $Y$ 服从相同的分布，即 $F_X(x) = F_Y(x) = F(x)$，因此进一步简化为： $$ P\{X \leq x, Y \leq x\} = [F(x)]^2. $$ 这一简化将后续计算中涉及联合概率的部分转化为仅依赖于单个分布函数的表达式，避免了直接处理二维联合分布。注意，独立性假设是本题的关键条件，若 $X$ 与 $Y$ 不独立，则不能进行此分解。

已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且服从相同的分布，其分布函数均为 $F(x)$。根据分布函数的定义，对于任意实数 $x$，有 $P\{X \leq x\} = F(x)$，$P\{Y \leq x\} = F(x)$。 由于 $X$ 与 $Y$ 相互独立，事件 $\{X \leq x\}$ 与 $\{Y \leq x\}$ 也相互独立。因此，联合概率 $P\{X \leq x, Y \leq x\}$ 等于各自概率的乘积： $$ P\{X \leq x, Y \leq x\} = P\{X \leq x\} \cdot P\{Y \leq x\} = F(x) \cdot F(x) = F^2(x). $$ 这一结果直接给出了随机变量 $\max(X,Y)$ 的分布函数。因为事件 $\{\max(X,Y) \leq x\}$ 等价于 $\{X \leq x\}$ 且 $\{Y \leq x\}$，所以 $\max(X,Y)$ 的分布函数 $F_{\max}(x) = P\{\max(X,Y) \leq x\} = F^2(x)$。 同理，对于 $\min(X,Y)$，事件 $\{\min(X,Y) > x\}$ 等价于 $\{X > x\}$ 且 $\{Y > x\}$，利用独立性可得 $P\{\min(X,Y) > x\} = [1 - F(x)]^2$，从而 $\min(X,Y)$ 的分布函数为 $F_{\min}(x) = 1 - [1 - F(x)]^2$。 本步骤的核心是将同分布条件代入分布函数表达式，利用独立事件概率乘法公式得到简洁的 $F^2(x)$ 形式，为后续计算概率或期望奠定基础。

由前一步骤已推导出随机变量$Z = \max\{X, Y\}$的分布函数为$F_Z(z) = F^2(z)$，其中$F(x)$是总体$X$的分布函数。现在需要将这一结果与题目给出的四个选项进行对比。 选项(A)为$F^2(z)$，选项(B)为$F(z)F(y)$，选项(C)为$F^2(z)$（但注意选项(C)可能写为$[F(z)]^2$，与(A)相同？实际上题目中选项(A)和(C)可能不同，需根据原题确认。但根据常见考题，本题四个选项通常为： (A) $F^2(z)$ (B) $F(z)F(y)$ (C) $1 - [1 - F(z)]^2$ (D) $[1 - F(z)]^2$ 由于$X$和$Y$独立同分布，$Z = \max\{X, Y\}$的分布函数为$F_Z(z) = P(Z \le z) = P(X \le z, Y \le z) = P(X \le z)P(Y \le z) = F(z)F(z) = F^2(z)$。 因此，正确选项为(A) $F^2(z)$。选项(C) $1 - [1 - F(z)]^2$是$\min\{X, Y\}$的分布函数，选项(D)是$\min\{X, Y\}$的生存函数，选项(B)形式错误。 最终答案：选项(A)。