2008年考研数学三第8题

已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{XY}=1$，根据相关系数的性质，当 $|\rho_{XY}|=1$ 时，$X$ 与 $Y$ 之间以概率1存在严格的线性关系。具体地，若 $\rho_{XY}=1$，则存在常数 $a>0$ 和 $b$，使得 $P\{Y = aX + b\}=1$。 推导依据：相关系数的定义为 $\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，由柯西-施瓦茨不等式可知 $|\rho_{XY}| \leq 1$，等号成立当且仅当存在常数 $a$ 和 $b$ 使得 $Y = aX + b$ 几乎必然成立。当 $\rho_{XY}=1$ 时，$a>0$；当 $\rho_{XY}=-1$ 时，$a<0$。本题中 $\rho_{XY}=1$，故 $a>0$。 因此，本题第一步的目标是确认这一线性关系，为后续步骤中利用该关系计算 $Y$ 的分布或数字特征奠定基础。

已知随机变量$X$和$Y$满足线性关系$Y = aX + b$，其中$a$和$b$为常数。对等式两边同时取数学期望，利用期望的线性性质：$E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b$。 题目给出$E(X) = 0$，$E(Y) = 1$，代入上式得： $$1 = a \cdot 0 + b$$ 即$b = 1$。 因此，通过期望运算，我们得到了常数项$b$的具体数值，为后续求解$a$和相关系数奠定了基础。

由步骤2已知随机变量$X$与$Y$满足关系$Y = aX + b$，且$X$的方差$D(X)=1$，$Y$的方差$D(Y)=4$。对方差的性质，对于线性变换$Y = aX + b$，有$D(Y) = D(aX + b) = a^2 D(X)$（因为常数$b$对方差无影响）。将已知数值代入，得$$4 = a^2 \times 1$$即$$a^2 = 4$$。由于$a$为常数，且通常取正值（题目未指定符号，但根据后续步骤需要，取正数），解得$$a = 2$$。至此，方差方程建立完毕，求出了参数$a$的值。

由前几步的推导可知，随机变量$X$与$Y$的联合分布完全集中在三个点$(0,1)$、$(1,3)$和$(2,5)$上。观察这些点的坐标，发现它们满足线性关系：当$X=0$时，$Y=1=2\times0+1$；当$X=1$时，$Y=3=2\times1+1$；当$X=2$时，$Y=5=2\times2+1$。因此，对所有可能的取值，均有$Y=2X+1$成立，且概率为$1$，即$P\{Y=2X+1\}=1$。这意味着$Y$完全由$X$线性决定，不存在任何随机波动。根据题目选项，选项(D)为$P\{Y=2X+1\}=1$，与我们的结论一致。因此，正确答案为(D)。