2008年考研数学三第9题

当$x \to c^+$时，即$x$从大于$c$的一侧趋近于$c$。由于$c>0$，在$x$充分接近$c$且$x>c$时，有$x>0$，因此$|x| = x$，且$|x| > c$（因为$x>c$）。根据题目给出的分段函数，当$|x|>c$时，$f(x) = \frac{2}{|x|}$。代入$|x|=x$，得到$f(x) = \frac{2}{x}$。于是右极限为： $$ \lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^+} \frac{2}{x} = \frac{2}{c}. $$ 这里直接代入$x=c$即可，因为函数$\frac{2}{x}$在$x=c>0$处连续。因此右极限值为$\frac{2}{c}$。

由连续条件可知，函数在分段点 $x=0$ 处的左极限与右极限相等，且等于函数值 $f(0)$。左极限为 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (e^{x} + c) = e^{0} + c = 1 + c$。右极限为 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{2}{x} \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt \right)$。利用洛必达法则或积分中值定理可得该极限为 $2$（具体推导见上一步）。因此连续条件给出方程： $$ 1 + c = 2 $$ 解得 $c = 1$。 但题目中给出的连续条件为 $c^2 + 1 = \frac{2}{c}$，这可能是另一种参数化形式。我们按照题目提供的方程进行求解： 由连续条件得 $$ c^2 + 1 = \frac{2}{c} $$ 两边乘以 $c$（注意 $c \neq 0$，否则右端无意义），得 $$ c^3 + c = 2 $$ 移项得 $$ c^3 + c - 2 = 0 $$ 对方程进行因式分解。尝试 $c=1$ 代入，$1+1-2=0$，故 $c-1$ 是一个因式。用多项式除法或分组分解： $$ c^3 + c - 2 = (c-1)(c^2 + c + 2) = 0 $$ 验证：$(c-1)(c^2+c+2) = c^3 + c^2 + 2c - c^2 - c - 2 = c^3 + c - 2$，正确。 令每个因式为零： 1. $c-1=0$ 得 $c=1$。 2. $c^2 + c + 2 = 0$，判别式 $\Delta = 1 - 8 = -7 < 0$，无实数解。 因此唯一实数解为 $c=1$。 至此，我们求出了参数 $c$ 的值，为下一步验证函数连续性提供了具体数值。

本步骤验证所求参数$c=1$的合理性。首先，$c=1$为正数，满足题目中分段函数定义域对参数$c$的要求（通常$c$出现在分母或根号中时需为正，此处分段定义未明确限制，但由函数表达式可知$c$应使各段有意义）。其次，代入$c=1$后，分段函数为： $$ f(x)= \begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^2}, & x<0 \\ 1, & x=0 \\ \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}, & x>0 \end{cases} $$ 需要验证函数在$x=0$处连续。计算左极限： $$ \lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} $$ （利用等价无穷小$1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2$）。计算右极限： $$ \lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}=1 $$ （利用等价无穷小$\ln(1+x^2)\sim x^2$）。左极限为$\frac{1}{2}$，右极限为$1$，两者不相等，因此函数在$x=0$处不连续。但题目要求函数在$x=0$处连续，故$c=1$不满足连续性条件。实际上，正确的$c$应使左右极限相等且等于$f(0)=c$。由左极限$\frac{1}{2}$和右极限$1$可知，无论$c$取何值，左右极限不相等，因此不存在$c$使函数在$x=0$处连续。但题目中已设定$c=1$，故需指出此矛盾：$c=1$虽为正数，但无法使函数连续。最终结论：参数$c$无解，或题目条件有误。