2009年考研数学三第14题

由题意，总体$X$服从二项分布，记作$X \sim B(n, p)$。二项分布是$n$次独立重复的伯努利试验中成功次数的分布，每次试验成功的概率为$p$。 二项分布的数学期望（均值）为： $$E(X) = np$$ 二项分布的方差为： $$D(X) = np(1-p)$$ 推导过程： 1. 期望的推导：设$X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$，其中$X_i$为第$i$次试验的结果（成功为1，失败为0），则$X_i \sim B(1,p)$，$E(X_i)=p$。由期望的线性性质，$E(X)=\sum_{i=1}^n E(X_i)=np$。 2. 方差的推导：由于各次试验独立，$D(X)=\sum_{i=1}^n D(X_i)$。而$D(X_i)=p(1-p)$，故$D(X)=np(1-p)$。 因此，总体分布的数字特征为：均值$np$，方差$np(1-p)$。

设总体 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$，即 $X \sim B(n, p)$，其概率分布为 $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$，$k=0,1,\dots,n$。已知总体均值 $E(X) = np$。 样本均值定义为 $\bar{X} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} X_i$，其中 $X_1, X_2, \dots, X_m$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，样本容量为 $m$。 根据期望的线性性质，对于任意常数 $a_i$ 和随机变量 $Y_i$，有 $E\left(\sum_{i=1}^{m} a_i Y_i\right) = \sum_{i=1}^{m} a_i E(Y_i)$。因此， $$E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} X_i\right) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} E(X_i).$$ 由于每个 $X_i$ 与总体 $X$ 同分布，故 $E(X_i) = E(X) = np$，$i=1,2,\dots,m$。代入上式得： $$E(\bar{X}) = \frac{1}{m} \cdot m \cdot np = np.$$ 因此，样本均值的期望等于总体均值 $np$。这一结果体现了样本均值作为总体均值无偏估计量的性质。

根据样本方差的性质，对于来自总体 $X$ 的简单随机样本 $X_1, X_2, \dots, X_n$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ 是总体方差 $D(X)$ 的无偏估计，即 $E(S^2) = D(X)$。 本题中总体 $X \sim B(1, p)$，即服从参数为 $p$ 的0-1分布（伯努利分布）。对于伯努利分布，其方差为 $D(X) = p(1-p)$。因此，直接代入无偏性结论可得： $$E(S^2) = D(X) = p(1-p).$$ 为了更清晰地理解，也可以从定义出发推导。样本方差 $S^2$ 的期望为： $$E(S^2) = E\left[\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2\right] = \frac{1}{n-1}E\left[\sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2\right].$$ 由于 $X_i$ 独立同分布，且 $E(X_i)=p$，$E(X_i^2)=p$（因为 $X_i^2 = X_i$），$E(\bar{X})=p$，$D(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n}$，所以 $E(\bar{X}^2) = D(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2$。于是： $$E\left[\sum_{i=1}^n X_i^2\right] = n \cdot p, \quad E(n\bar{X}^2) = n\left(\frac{p(1-p)}{n} + p^2\right) = p(1-p) + np^2.$$ 因此： $$E\left[\sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2\right] = np - [p(1-p) + np^2] = np - p(1-p) - np^2 = (n-1)p(1-p).$$ 最后： $$E(S^2) = \frac{1}{n-1} \cdot (n-1)p(1-p) = p(1-p).$$ 至此，我们得到了样本方差的期望等于总体方差 $p(1-p)$。

本步骤的目标是计算统计量 $T = \bar{X} - S^2$ 的期望 $E(T)$。由前几步已知：$\bar{X}$ 是样本均值，$S^2$ 是样本方差，且总体 $X \sim B(1, p)$（两点分布），因此 $E(X) = p$，$D(X) = p(1-p)$。 首先，计算 $E(\bar{X})$。由于 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，且 $X_1,\dots,X_n$ 独立同分布，有 $$E(\bar{X}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot p = p.$$ 其次，计算 $E(S^2)$。样本方差定义为 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$，其期望为总体方差，即 $$E(S^2) = D(X) = p(1-p).$$ 因此，统计量 $T$ 的期望为 $$E(T) = E(\bar{X}) - E(S^2) = p - p(1-p) = p - p + p^2 = p^2.$$ 最终答案为 $E(T) = p^2$。验证：当 $p=0$ 时，总体全为0，样本均值与样本方差均为0，$T=0$，期望为0，与 $p^2=0$ 一致；当 $p=1$ 时，总体全为1，样本均值为1，样本方差为0，$T=1$，期望为1，与 $p^2=1$ 一致，结果合理。