函数 $f(x)=\displaystyle\frac{x-x^{3}}{\sin \pi x}$ 的可去间断点的个数为
当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^{2} \ln (1-b x)$ 是等价无穷小量，则
使不等式 $\displaystyle\int_{1}^{x} \displaystyle\frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\gt\ln x$ 成立的 $x$ 的范围是
设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-1,3]$ 上的图形如图所示，则函数 $F(x)= \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 的图形为
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为2阶方阵， $\boldsymbol{A}^{*}, \boldsymbol{B}^{*}$ 分别为 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵。若 $|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=3$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为（ ）
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{P}$ 均为3阶矩阵， $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{P}$ 的转置矩阵，且 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 。若 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right), \boldsymbol{Q}= \left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ ，则 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 为
设事件 $A$ 与事件 $B$ 互不相容，则（）
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1), Y$ 的概率分布为 $P\{Y=0\}= P\{Y=1\}=\displaystyle\frac{1}{2}$ 。记 $F_{Z}(z)$ 为随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数，则函数 $F_{Z}(z)$ 的间断点个数为（ ）
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{e-e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}=$ $\_\_\_\_$。
设 $z=\left(x+\mathrm{e}^{y}\right)^{x}$ ，则 $\left.\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{n}-(-1)^{n}}{n^{2}} x^{n}$ 的收敛半径为 $\_\_\_\_$。
设某产品的需求函数为 $Q=Q(p)$ ，其对价格 $p$ 的弹性 $\varepsilon_{p}=0.2$ ，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 $\_\_\_\_$元。
设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(1,0, k)^{\mathrm{T}}$ ，若矩阵 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 相似于 $\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{m}$ 为来自二项分布总体 $B(n, p)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 和 $S^{2}$ 分别为样本均值和样本方差．记统计量 $T=\bar{X}-S^{2}$ ，则 $E(T)=$ $\_\_\_\_$
计算不定积分 $\displaystyle\int \ln \left(1+\sqrt{\displaystyle\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x\gt 0)$ ．
计算二重积分 $\iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2, y \geqslant x\right\}$ ．
（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$ 。 （II）证明：若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在 $(0, \delta)(\delta\gt 0)$ 内可导，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)$存在，且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$ ．
设曲线 $y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是可导函数，且 $f(x)\gt 0$ ．已知曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=0, x=1$ 及 $x=t(t\gt 1)$ 所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 $\pi t$ 倍，求该曲线的方程．
设
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 \\
0 & -4 & -2
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
-2
\end{array}\right)
$$
（I）求满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{2}=\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\xi}_{3}=\boldsymbol{\xi}_{1}$ 的所有向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ ；
（II）对（I）中的任意向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ ，证明 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ 线性无关。
设二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3} .
$$
（I）求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值；
（II）若二次型 $f$ 的规范形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\begin{cases}\mathrm{e}^{-x}, & 0\lt y\lt x, ~ \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（I）求条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ；
（II）求条件概率 $P\{X \leqslant 1 \mid Y \leqslant 1\}$ ．
袋中有 1 个红球、 2 个黑球与 3 个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球。以 $X, Y, Z$ 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。 （I）求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$ ； （II）求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布．