2009年考研数学三第18题

解答题 · 12分

📝 题目

（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$ 。 （II）证明：若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在 $(0, \delta)(\delta\gt 0)$ 内可导，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)$存在，且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$ ．

💡 答案解析

**答案**: 见解析

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**解析**:

（I）取 $F(x)=f(x)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ ，由题意知 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $F(a)=f(a)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=f(a)$ ，

$$ F(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(a) $$

根据罗尔定理，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$ ，即

$$ f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) $$

（II）对于任意的 $t \in(0, \delta)$ ，函数 $f(x)$ 在 $[0, t]$ 上连续，在 $(0, t)$ 内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理

$$ f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)-f(0)}{t-0}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f^{\prime}(\xi) t}{t}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(\xi) \text {, 其中 } \xi \in(0, t) $$

由于 $\displaystyle\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(t)=A$ ，且当 $t \rightarrow 0^{+}$时， $\displaystyle\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(\xi)=A$ ，故 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在，且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$ ．

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：构造辅助函数并验证端点值相等
首先，根据题目条件，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导。为了应用罗尔定理，我们需要构造一个辅助函数 $F(x)$，使得 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，并且 $F(a)=F(b)$。 构造辅助函数如下： $$F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$ 其中，$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 是连接点 $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))$ 的直线斜率，即函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的平均变化率。 接下来，验证端点值相等。计算 $F(a)$： $$F(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot 0=f(a)$$ 再计算 $F(b)$： $$F(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-[f(b)-f(a)]=f(a)$$ 因此，$F(a)=F(b)=f(a)$，满足罗尔定理的端点值相等条件。 由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，而 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ 是线性函数，也在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，所以 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。至此，我们成功构造了辅助函数并验证了端点值相等，为下一步应用罗尔定理做好了准备。
公式：$$F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$
提示：构造辅助函数的关键是减去连接端点直线的方程，使两端点函数值相等。
步骤 2/5
目标：应用罗尔定理得到中值点
由第一步已构造辅助函数 $F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)$，易验证 $F(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续（因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，线性函数也连续），在开区间 $(a,b)$ 内可导（因为 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，线性函数可导）。计算端点值： $$F(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)-f(a)=f(a)-0-f(a)=0,$$ $$F(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)-f(a)=f(b)-[f(b)-f(a)]-f(a)=0.$$ 因此 $F(a)=F(b)=0$，满足罗尔定理的条件。根据罗尔定理，存在一点 $\xi\in(a,b)$，使得 $F'(\xi)=0$。 计算 $F'(x)$： $$F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ 令 $x=\xi$ 得 $$F'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0,$$ 即 $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ 由此得到拉格朗日中值定理的结论：存在 $\xi\in(a,b)$，使得上式成立。
公式：$$F'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \quad\Longrightarrow\quad f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
提示：验证罗尔定理的三个条件缺一不可：连续、可导、端点值相等。
步骤 3/5
目标：推导拉格朗日中值公式
在第二步中，我们构造了辅助函数 $F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，并验证了 $F(a)=F(b)=f(a)$，因此 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上满足罗尔定理的条件。根据罗尔定理，存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $F'(\xi)=0$。 现在对 $F(x)$ 求导： $$F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ 将 $x=\xi$ 代入，得到： $$F'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0.$$ 将上式整理，把常数项移到等号右边： $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ 两边同时乘以 $(b-a)$，即得拉格朗日中值定理的核心公式： $$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).$$ 这个公式表明：在区间 $[a,b]$ 上，函数 $f(x)$ 在端点处的函数值之差等于区间内某点 $\xi$ 处的导数乘以区间长度。它建立了函数增量与导数之间的桥梁，是微分学中非常重要的结论。
公式：$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),\quad \xi\in(a,b)$$
提示：牢记拉格朗日中值公式的结构：函数增量等于导数乘以区间长度。
步骤 4/5
目标：写出右导数定义并应用拉格朗日中值定理
首先，写出函数$f(x)$在$x=0$处的右导数定义： $$f'_+(0)=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(t)-f(0)}{t}.$$ 根据题目条件，对于任意$t\in(0,\delta)$，函数$f(x)$在闭区间$[0,t]$上连续，在开区间$(0,t)$内可导，因此满足拉格朗日中值定理的条件。于是存在一点$\xi\in(0,t)$，使得 $$f(t)-f(0)=f'(\xi)(t-0)=f'(\xi)t.$$ 将上式代入右导数定义中，得到 $$f'_+(0)=\lim_{t\to 0^+}\frac{f'(\xi)t}{t}=\lim_{t\to 0^+}f'(\xi).$$ 由于$\xi$依赖于$t$，且满足$0<\xi
公式：$$f'_+(0)=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(t)-f(0)}{t}=\lim_{t\to 0^+}f'(\xi),\quad \xi\in(0,t)$$
提示：注意$\xi$是随$t$变化的，极限$\lim_{t\to0^+}f'(\xi)$等价于$\lim_{x\to0^+}f'(x)$。
步骤 5/5
目标：利用极限条件得到结论
由题目条件已知右导数定义：$f'_+(0) = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)-f(0)}{t}$。根据拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (0, t)$，使得$\frac{f(t)-f(0)}{t} = f'(\xi)$。当$t \to 0^+$时，$\xi \to 0^+$。又已知$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = A$，因此$\lim_{t \to 0^+} f'(\xi) = A$。于是$\lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)-f(0)}{t} = A$，即$f'_+(0)$存在且等于$A$。至此，我们完成了从导函数右极限存在推出函数在$x=0$处右导数存在且相等的证明。
公式：$$f'_+(0) = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)-f(0)}{t} = \lim_{t \to 0^+} f'(\xi) = A$$
提示：关键是用中值定理将差商与导函数值联系起来，再通过极限传递得到结论。

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