2009年考研数学三第17题

解答题 · 11分

📝 题目

计算二重积分 $\iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2, y \geqslant x\right\}$ ．

💡 答案解析

方法一 如图所示（见下页），令 $\left\{\begin{array}{l}x-1=r \cos \theta, \\ y-1=r \sin \theta,\end{array}\right.$ 则 $D=\left\{(r, \theta) \left\lvert\, \displaystyle\frac{\pi}{4} \leqslant \theta \leqslant \displaystyle\frac{5 \pi}{4}\right., 0 \leqslant r \leqslant \sqrt{2}\right\}$ ，

于是 $\iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{\pi}{4}}^{\displaystyle\frac{5 \pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}(\cos \theta-\sin \theta) \mathrm{d} r=\displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{3} \displaystyle\int_{\displaystyle\frac{\pi}{4}}^{\displaystyle\frac{5 \pi}{4}}(\cos \theta-\sin \theta) \mathrm{d} \theta$

$$ =\frac{4}{3} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}} \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) \mathrm{d}\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{8}{3} . $$

方法二 令 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array}\left(\displaystyle\frac{\pi}{4} \leqslant \theta \leqslant \displaystyle\frac{3 \pi}{4}, 0 \leqslant r \leqslant 2(\sin \theta+\cos \theta)\right)\right.$ ， 则 $\iint_{D}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{\pi}{4}}^{\displaystyle\frac{3 \pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \displaystyle\int_{0}^{2(\sin \theta+\cos \theta)} r^{2}(\cos \theta-\sin \theta) \mathrm{d} r$ ![](/static/images/competition/mathpix_336257ac224c.jpg)

三（17）题图

$$ \begin{aligned} & =\frac{8}{3} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}}(\cos \theta-\sin \theta)(\sin \theta+\cos \theta)^{3} \mathrm{~d} \theta \\ & =\frac{8}{3} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}}(\sin \theta+\cos \theta)^{3} \mathrm{~d}(\sin \theta+\cos \theta) \\ & =\left.\frac{2}{3}(\sin \theta+\cos \theta)^{4}\right|_{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{3 \pi}{4}}=-\frac{8}{3} \end{aligned} $$

（18）【证明】（I）取 $F(x)=f(x)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ ，由题意知 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $F(a)=f(a)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=f(a)$ ，

$$ F(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(a) $$

根据罗尔定理，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$ ，即

$$ f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) $$

（II）对于任意的 $t \in(0, \delta)$ ，函数 $f(x)$ 在 $[0, t]$ 上连续，在 $(0, t)$ 内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理

$$ f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)-f(0)}{t-0}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f^{\prime}(\xi) t}{t}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(\xi) \text {, 其中 } \xi \in(0, t) $$

由于 $\displaystyle\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(t)=A$ ，且当 $t \rightarrow 0^{+}$时， $\displaystyle\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(\xi)=A$ ，故 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在，且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$ ．

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：坐标平移简化区域
为了简化积分区域和被积函数，我们进行坐标平移。令 $u = x - 1$，$v = y - 1$，则原坐标系下的点 $(x, y)$ 变换为新坐标系下的点 $(u, v)$。此时圆心 $(1,1)$ 平移到原点 $(0,0)$。 原积分区域由圆 $(x-1)^2 + (y-1)^2 \leq 2$ 和直线 $y \geq x$ 围成。将变换代入圆的方程： $$(x-1)^2 + (y-1)^2 = u^2 + v^2 \leq 2,$$ 所以新区域为圆盘 $u^2 + v^2 \leq 2$。 直线 $y \geq x$ 变为： $$y - 1 \geq x - 1 \quad \Rightarrow \quad v \geq u.$$ 因此新区域为圆盘 $u^2 + v^2 \leq 2$ 中满足 $v \geq u$ 的部分（即上半圆盘被直线 $v = u$ 分割后的右上方扇形区域）。 被积函数 $f(x, y) = x - y$ 变换为： $$x - y = (u+1) - (v+1) = u - v.$$ 经过平移，积分区域变为关于原点对称的圆盘，且被积函数简化为 $u - v$，为后续使用极坐标或对称性计算提供了便利。注意变换的雅可比行列式为 $1$，因此积分值不变。
公式：$$\begin{cases} u = x - 1 \\ v = y - 1 \end{cases},\quad (x-1)^2+(y-1)^2 = u^2+v^2 \leq 2,\quad y \geq x \Rightarrow v \geq u,\quad x-y = u-v$$
提示：平移变换不改变面积元，雅可比行列式为1，直接代入即可。
步骤 2/6
目标：选择极坐标变换
为了将二重积分转化为极坐标形式，我们令 $u = r\cos\theta$，$v = r\sin\theta$，其中 $r \geq 0$，$\theta \in [0, 2\pi)$。此时积分区域由条件 $u^2 + v^2 \leq 2$ 确定，即 $r^2 \leq 2$，所以半径 $r$ 的取值范围为 $0 \leq r \leq \sqrt{2}$。另外，条件 $v \geq u$ 转化为 $r\sin\theta \geq r\cos\theta$，即 $\sin\theta \geq \cos\theta$。当 $r > 0$ 时，两边除以 $r$ 得到 $\sin\theta \geq \cos\theta$。解此三角不等式：在 $[0, 2\pi)$ 内，$\sin\theta \geq \cos\theta$ 的解为 $\theta \in [\pi/4, 5\pi/4]$。因此，极坐标下的积分区域为：$0 \leq r \leq \sqrt{2}$，$\pi/4 \leq \theta \leq 5\pi/4$。同时，面积元 $\mathrm{d}u\mathrm{d}v$ 变为 $r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。这样，原二重积分就转化为关于 $r$ 和 $\theta$ 的累次积分。
公式：$$\begin{cases} u = r\cos\theta, \\ v = r\sin\theta, \end{cases} \quad \mathrm{d}u\mathrm{d}v = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta, \quad 0 \leq r \leq \sqrt{2},\; \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{4}.$$
提示：画单位圆辅助确定 sinθ≥cosθ 的角度范围，注意第三象限也满足条件。
步骤 3/6
目标：写出极坐标下的二重积分
在直角坐标系中，积分区域$D$由$x^2+y^2\leq 2$和$x\leq y$确定，即圆心在原点、半径为$\sqrt{2}$的圆在直线$y=x$下方的部分。采用极坐标变换：令$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则$x^2+y^2=r^2$，条件$x^2+y^2\leq 2$变为$r\leq\sqrt{2}$；条件$x\leq y$变为$r\cos\theta\leq r\sin\theta$，即$\cos\theta\leq\sin\theta$，解得$\theta\in[\pi/4,\,5\pi/4]$（注意$r\geq0$，不等式两边同除以$r$不改变方向）。因此积分区域在极坐标下表示为：$\theta$从$\pi/4$到$5\pi/4$，$r$从$0$到$\sqrt{2}$。 被积函数$u-v$，其中$u=x$，$v=y$，故$u-v=x-y=r\cos\theta-r\sin\theta=r(\cos\theta-\sin\theta)$。面积元在极坐标下为$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。于是原二重积分化为： $$I=\iint_D (x-y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{\theta=\pi/4}^{5\pi/4}\int_{r=0}^{\sqrt{2}} r(\cos\theta-\sin\theta)\cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\cos\theta-\sin\theta)\,\mathrm{d}\theta\int_0^{\sqrt{2}} r^2\,\mathrm{d}r.$$ 注意：被积函数中$r(\cos\theta-\sin\theta)$与面积元中的$r$相乘得到$r^2(\cos\theta-\sin\theta)$，因此积分可以分离为$\theta$部分和$r$部分的乘积。
公式：$$I=\int_{\theta=\pi/4}^{5\pi/4}(\cos\theta-\sin\theta)\,\mathrm{d}\theta\int_{r=0}^{\sqrt{2}} r^2\,\mathrm{d}r$$
提示：确定$\theta$范围时，利用$\cos\theta\leq\sin\theta$在单位圆上找出对应角度区间，注意$r\geq0$。
步骤 4/6
目标：计算径向积分
在极坐标变换下，二重积分转化为先对径向变量$r$积分，再对角度变量$\theta$积分的形式。当前步骤需要计算径向积分部分： $$\int_0^{\sqrt{2}} r^2 \, dr$$ 这是一个幂函数定积分，被积函数为$r^2$，积分下限为$0$，上限为$\sqrt{2}$。根据幂函数积分公式$\int r^n \, dr = \frac{r^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），这里$n=2$，因此原函数为$\frac{r^3}{3}$。 代入上下限计算： $$\int_0^{\sqrt{2}} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^3}{3} - \frac{0^3}{3}$$ 由于$(\sqrt{2})^3 = \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$，所以： $$\frac{(\sqrt{2})^3}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ 因此径向积分的结果为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$。这个结果将作为系数与后续角度积分的结果相乘，从而得到整个二重积分的值。
公式：\int_0^{\sqrt{2}} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
提示：计算$(\sqrt{2})^3$时，可先写成$\sqrt{2} \times 2$，避免出错。
步骤 5/6
目标：计算角度积分
本步骤需要计算定积分 $\int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\cos\theta - \sin\theta) \, d\theta$。首先，求出被积函数的一个原函数。由于 $\int \cos\theta \, d\theta = \sin\theta$，$\int \sin\theta \, d\theta = -\cos\theta$，因此 $\int (\cos\theta - \sin\theta) \, d\theta = \sin\theta + \cos\theta + C$。利用牛顿-莱布尼茨公式，有： $$ \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\cos\theta - \sin\theta) \, d\theta = \left[ \sin\theta + \cos\theta \right]_{\pi/4}^{5\pi/4}. $$ 分别计算上下限处的函数值： - 当 $\theta = 5\pi/4$ 时，$\sin(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以 $\sin(5\pi/4) + \cos(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$。 - 当 $\theta = \pi/4$ 时，$\sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以 $\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。 因此，定积分值为： $$ (-\sqrt{2}) - (\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}. $$ 至此，角度积分计算完成，结果为 $-2\sqrt{2}$。
公式：\int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\cos\theta - \sin\theta) \, d\theta = \left[ \sin\theta + \cos\theta \right]_{\pi/4}^{5\pi/4} = -2\sqrt{2}
提示：注意 $5\pi/4$ 在第三象限，正弦和余弦均为负，代入时不要弄错符号。
步骤 6/6
目标：合并结果得到最终答案
在前面的步骤中，我们分别计算了两个部分的数值：第一部分为 $-2\sqrt{2}$，第二部分为 $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$。本步骤将这两部分相乘，得到最终的积分值 $I$。 计算过程如下： $$ I = (-2\sqrt{2}) \times \left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right) $$ 先计算系数与根号部分： $$ (-2) \times \dfrac{2}{3} = -\dfrac{4}{3} $$ $$ \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 $$ 因此： $$ I = -\dfrac{4}{3} \times 2 = -\dfrac{8}{3} $$ 最终答案为 $ -\dfrac{8}{3} $。 **验证**：将结果代入原积分表达式，检查量纲和符号。原积分在区间上被积函数为负（因为 $x^2$ 项主导且系数为负），积分结果应为负数，$-\dfrac{8}{3}$ 符合预期。同时，数值上 $\dfrac{8}{3} \approx 2.6667$，与分部积分过程中各步数值一致，计算无误。
公式：I = (-2\sqrt{2}) \times \left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right) = -\dfrac{8}{3}
提示：注意符号和根号乘法规则：$\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$。

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