2009年考研数学三第11题

首先，我们需要确定幂级数的通项系数。题目中给出的幂级数形式为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，其中 $a_n$ 是待求的系数。根据题目条件，幂级数的通项系数为 $a_n = \frac{\mathrm{e}^{n}-(-1)^{n}}{n^{2}}$。这里 $\mathrm{e}^{n}$ 表示自然常数 $e$ 的 $n$ 次幂，$(-1)^{n}$ 是符号因子，$n^{2}$ 是分母。因此，幂级数可以写为： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{n}-(-1)^{n}}{n^{2}} x^n. $$ 注意，$n$ 从 $1$ 开始，因为当 $n=0$ 时，分母 $0^2$ 无意义。系数 $a_n$ 的表达式已经直接给出，无需进一步推导。这一步的关键是正确理解并写出通项系数的形式，为后续求收敛半径、和函数等步骤奠定基础。

根据比值审敛法，需要计算极限 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$。已知级数的通项为 $a_n = \frac{n!}{n^n}$，则 $a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$。代入比值公式得： $$ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. $$ 化简 $\frac{(n+1)!}{n!} = n+1$，于是 $$ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n}. $$ 进一步写成 $$ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}. $$ 因此，所求极限为 $$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} = \frac{1}{e}. $$

将比值写为： $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\mathrm{e}^{n+1} - (-1)^{n+1}}{\mathrm{e}^n - (-1)^n} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}. $$ 首先处理分子 $\mathrm{e}^{n+1} - (-1)^{n+1}$。利用指数性质 $\mathrm{e}^{n+1} = \mathrm{e} \cdot \mathrm{e}^n$，以及 $(-1)^{n+1} = -(-1)^n$，得到： $$ \mathrm{e}^{n+1} - (-1)^{n+1} = \mathrm{e} \cdot \mathrm{e}^n - \bigl(-(-1)^n\bigr) = \mathrm{e} \cdot \mathrm{e}^n + (-1)^n. $$ 分母 $\mathrm{e}^n - (-1)^n$ 保持不变。于是比值变为： $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\mathrm{e} \cdot \mathrm{e}^n + (-1)^n}{\mathrm{e}^n - (-1)^n} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}. $$ 为了进一步化简，将分子分母同时除以 $\mathrm{e}^n$（注意 $\mathrm{e}^n > 0$，且当 $n \to \infty$ 时 $\mathrm{e}^n$ 远大于 $(-1)^n$，这种处理有助于后续求极限）： $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\mathrm{e} + \frac{(-1)^n}{\mathrm{e}^n}}{1 - \frac{(-1)^n}{\mathrm{e}^n}} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}. $$ 此时，$\frac{(-1)^n}{\mathrm{e}^n}$ 的绝对值 $\frac{1}{\mathrm{e}^n}$ 随着 $n$ 增大而迅速趋于0，因此当 $n$ 很大时，分子近似为 $\mathrm{e}$，分母近似为1。但本步骤仅要求化简表达式，保留精确形式即可。 最后，将 $\frac{n^2}{(n+1)^2}$ 改写为 $\left(\frac{n}{n+1}\right)^2$，得到化简后的比值： $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\mathrm{e} + \frac{(-1)^n}{\mathrm{e}^n}}{1 - \frac{(-1)^n}{\mathrm{e}^n}} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^2. $$

本步骤的目标是计算极限值。我们已经将原极限表达式化为： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\mathrm{e}^{n+1} - (-1)^{n+1}}{\mathrm{e}^{n} - (-1)^{n}} \cdot \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} $$ 首先，对分子和分母分别提取公因式 $\mathrm{e}^{n}$。分子为 $\mathrm{e}^{n+1} - (-1)^{n+1} = \mathrm{e}^{n} \cdot \mathrm{e} - (-1)^{n+1}$，分母为 $\mathrm{e}^{n} - (-1)^{n} = \mathrm{e}^{n} - (-1)^{n}$。于是原式可写为： $$ \frac{\mathrm{e}^{n} \cdot \mathrm{e} - (-1)^{n+1}}{\mathrm{e}^{n} - (-1)^{n}} \cdot \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} $$ 分子分母同时除以 $\mathrm{e}^{n}$（注意 $\mathrm{e}^{n} > 0$），得到： $$ \frac{\mathrm{e} - \frac{(-1)^{n+1}}{\mathrm{e}^{n}}}{1 - \frac{(-1)^{n}}{\mathrm{e}^{n}}} \cdot \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} $$ 现在考虑 $n \to \infty$ 时的极限。由于 $\left| \frac{(-1)^{n}}{\mathrm{e}^{n}} \right| = \frac{1}{\mathrm{e}^{n}} \to 0$，且 $\left| \frac{(-1)^{n+1}}{\mathrm{e}^{n}} \right| = \frac{1}{\mathrm{e}^{n}} \to 0$，因此： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n}}{\mathrm{e}^{n}} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\mathrm{e}^{n}} = 0 $$ 于是第一个因式的极限为： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\mathrm{e} - \frac{(-1)^{n+1}}{\mathrm{e}^{n}}}{1 - \frac{(-1)^{n}}{\mathrm{e}^{n}}} = \frac{\mathrm{e} - 0}{1 - 0} = \mathrm{e} $$ 第二个因式 $\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}$ 的极限为： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^{2}} = 1 $$ 因此，原极限等于 $\mathrm{e} \times 1 = \mathrm{e}$。 最终答案为 $\mathrm{e}$。

本步骤的目标是求出幂级数的收敛半径。在之前的步骤中，我们已经得到了幂级数的系数表达式，并利用比值审敛法（达朗贝尔判别法）建立了极限关系。设幂级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，其收敛半径 $R$ 由公式 $R = \frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}$ 给出，前提是该极限存在。根据题目条件，我们已计算出 $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \mathrm{e}$。因此，直接代入公式得： $$ R = \frac{1}{\mathrm{e}}. $$ 为了验证结果的正确性，我们检查该极限是否确实为 $\mathrm{e}$。回顾之前的推导，系数 $a_n$ 由递推关系或通项公式确定，经过比值运算后，极限值不依赖于 $x$，仅与 $n$ 的阶数有关。例如，若 $a_n = \frac{1}{n!}$，则 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{n+1} \to 0$，收敛半径为无穷大；而本题中极限为 $\mathrm{e} > 0$，说明系数衰减速度较慢，收敛半径有限。最终得到 $R = \frac{1}{\mathrm{e}}$，即幂级数在 $|x| < \frac{1}{\mathrm{e}}$ 时绝对收敛，在 $|x| > \frac{1}{\mathrm{e}}$ 时发散，端点 $x = \pm \frac{1}{\mathrm{e}}$ 需要单独判断（但本题不要求）。因此，收敛半径的求解完成。