2009年考研数学三第10题

题目中给出的函数为 $z = (x + e^y)^x$，这是一个典型的幂指函数，其底数和指数都含有变量 $x$。直接对这样的函数求偏导比较困难，因此需要先将其转化为指数形式，以便利用指数函数和复合函数的求导法则。 根据指数与对数的恒等式：对于任意正数 $a$ 和实数 $b$，有 $a^b = e^{b \ln a}$。这里底数 $x + e^y$ 在题目所考虑的定义域内应为正数（通常 $x>0$ 或 $x+e^y>0$），因此可以应用该恒等式。 令 $z = (x + e^y)^x$，则取自然对数后得到： $$ \ln z = x \ln(x + e^y). $$ 两边同时取指数，得到： $$ z = e^{\ln z} = e^{x \ln(x + e^y)}. $$ 这样，原函数就转化为了 $z = e^{x \ln(x + e^y)}$。此时 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的复合函数，外层是指数函数 $e^u$，内层是 $u = x \ln(x + e^y)$。后续步骤中，我们可以利用链式法则（复合函数求导法则）和乘积法则来求 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数。 注意：在转化过程中，底数 $x+e^y$ 必须为正，否则对数无定义。在题目默认的取值范围内，通常认为 $x+e^y > 0$ 成立。

已知转化后的函数为 $z = e^{x \ln(x+e^y)}$，现在需要求 $\frac{\partial z}{\partial x}$。这是一个复合函数，外层是指数函数，内层是 $u = x \ln(x+e^y)$。应用链式法则： $$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x \ln(x+e^y)} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left[ x \ln(x+e^y) \right]$$ 接下来计算内层函数对 $x$ 的偏导数。令 $v = x \ln(x+e^y)$，使用乘积法则： $$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left[ x \right] \cdot \ln(x+e^y) + x \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left[ \ln(x+e^y) \right]$$ 其中 $\frac{\partial}{\partial x} \left[ x \right] = 1$，而 $\frac{\partial}{\partial x} \left[ \ln(x+e^y) \right] = \frac{1}{x+e^y} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x+e^y) = \frac{1}{x+e^y} \cdot 1 = \frac{1}{x+e^y}$。 因此： $$\frac{\partial v}{\partial x} = 1 \cdot \ln(x+e^y) + x \cdot \frac{1}{x+e^y} = \ln(x+e^y) + \frac{x}{x+e^y}$$ 代入链式法则： $$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x \ln(x+e^y)} \left( \ln(x+e^y) + \frac{x}{x+e^y} \right)$$ 由于 $e^{x \ln(x+e^y)} = (x+e^y)^x$（根据指数与对数的恒等式），所以最终结果也可以写成： $$\frac{\partial z}{\partial x} = (x+e^y)^x \left( \ln(x+e^y) + \frac{x}{x+e^y} \right)$$ 这就是所求的偏导数。

本步骤需要计算函数 $f(x,y) = x \ln(x+e^y)$ 对 $x$ 的偏导数。由于该函数是 $x$ 与 $\ln(x+e^y)$ 的乘积，我们应用乘积法则： 设 $u = x$，$v = \ln(x+e^y)$，则 $\frac{\partial}{\partial x}(u v) = \frac{\partial u}{\partial x} v + u \frac{\partial v}{\partial x}$。 首先，$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1$。 其次，计算 $\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \ln(x+e^y)$。根据链式法则，令 $t = x + e^y$，则 $v = \ln t$，$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{t}$，$\frac{\partial t}{\partial x} = 1$，所以 $\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{x+e^y} \cdot 1 = \frac{1}{x+e^y}$。 代入乘积法则： $$ \frac{\partial}{\partial x} \left[ x \ln(x+e^y) \right] = 1 \cdot \ln(x+e^y) + x \cdot \frac{1}{x+e^y} = \ln(x+e^y) + \frac{x}{x+e^y}. $$ 因此，内层导数的结果为 $\ln(x+e^y) + \frac{x}{x+e^y}$。

在前一步中，我们已经求出了函数 $z = (x+e^y)^x$ 对 $x$ 的偏导数表达式，即 $\frac{\partial z}{\partial x} = z \cdot \left[ \ln(x+e^y) + \frac{x}{x+e^y} \right]$。现在将 $z = (x+e^y)^x$ 代入该式，得到偏导数的完整表达式。 具体代入过程如下： $$\frac{\partial z}{\partial x} = (x+e^y)^x \cdot \left[ \ln(x+e^y) + \frac{x}{x+e^y} \right]$$ 这个表达式已经是最简形式，不需要进一步化简。它清晰地展示了函数 $z$ 对自变量 $x$ 的偏导数由两部分构成：第一部分是原函数本身 $(x+e^y)^x$，第二部分是括号内的和式 $\ln(x+e^y) + \frac{x}{x+e^y}$。 注意：这里 $\ln(x+e^y)$ 表示以自然常数 $e$ 为底的对数，即 $\log_e(x+e^y)$。而 $\frac{x}{x+e^y}$ 是一个分式，分母为 $x+e^y$，分子为 $x$。整个表达式在 $x+e^y > 0$ 的条件下有意义，这是由原函数的定义域决定的。 因此，偏导数的完整表达式为： $$\frac{\partial z}{\partial x} = (x+e^y)^x \left[ \ln(x+e^y) + \frac{x}{x+e^y} \right]$$ 该结果可直接用于后续步骤的计算或验证。