2009年考研数学三第9题
📝 题目
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{e-e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**: $\displaystyle\frac{3 e}{2}$ ．
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**解析**:
由 $\sqrt[3]{1+x^{2}}-1=\left(1+x^{2}\right)^{\displaystyle\frac{1}{3}}-1 \sim \displaystyle\frac{x^{2}}{3}$ ，
得 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}=3 \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}}{x^{2}}=-3 \mathrm{elim}_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{\cos x-1}-1}{x^{2}}$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分母等价无穷小替换
首先分析极限表达式：
$$
\lim_{x\to 0}\frac{e-e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}.
$$
当$x\to 0$时，分母$\sqrt[3]{1+x^2}-1$是无穷小量。利用等价无穷小替换公式：当$u\to 0$时，$(1+u)^\alpha -1 \sim \alpha u$。这里令$u=x^2$，$\alpha=\frac{1}{3}$，则
$$
\sqrt[3]{1+x^2}-1 = (1+x^2)^{1/3}-1 \sim \frac{1}{3}x^2.
$$
因此，原极限可化为
$$
\lim_{x\to 0}\frac{e-e^{\cos x}}{\frac{1}{3}x^2} = 3\lim_{x\to 0}\frac{e-e^{\cos x}}{x^2}.
$$
注意：等价无穷小替换仅适用于乘除因子，此处分母整体作为因子，替换是合法的。替换后的极限形式更简洁，便于后续处理。
公式：$$\sqrt[3]{1+x^2}-1 \sim \frac{x^2}{3} \quad (x\to 0)$$
提示：注意等价无穷小替换只适用于乘除因子，分子部分暂不处理。
步骤 2/4
目标：分子变形并提取公因子
当前步骤的目标是对分子进行变形，以便应用等价无穷小替换。原极限表达式为：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e - e^{\cos x}}{x^2} \cdot 3
$$
首先处理分子 $e - e^{\cos x}$。观察到两项都含有指数函数，但底数不同。为了提取公因子，将 $e$ 写成 $e^1$，并将 $e^{\cos x}$ 写成 $e^{1 + (\cos x - 1)} = e \cdot e^{\cos x - 1}$。于是分子变为：
$$
e - e^{\cos x} = e - e \cdot e^{\cos x - 1} = e \left(1 - e^{\cos x - 1}\right)
$$
进一步，为了利用等价无穷小 $e^u - 1 \sim u$（当 $u \to 0$），将 $1 - e^{\cos x - 1}$ 改写为 $-\left(e^{\cos x - 1} - 1\right)$，即：
$$
e - e^{\cos x} = -e \left(e^{\cos x - 1} - 1\right)
$$
因此原极限变为：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{-e \left(e^{\cos x - 1} - 1\right)}{x^2} \cdot 3 = -3e \lim_{x \to 0} \frac{e^{\cos x - 1} - 1}{x^2}
$$
注意，当 $x \to 0$ 时，$\cos x - 1 \to 0$，所以 $e^{\cos x - 1} - 1 \sim \cos x - 1$，这将在后续步骤中使用。当前步骤完成了分子变形和公因子提取，得到了一个更简洁的极限形式。
公式：$$e - e^{\cos x} = -e\left(e^{\cos x - 1} - 1\right)$$
提示：将$e^{\cos x}$写成$e \cdot e^{\cos x - 1}$，便于提取公因子$e$并构造$e^u-1$形式。
步骤 3/4
目标：分子等价无穷小替换
当前步骤的目标是对分子中的指数部分进行等价无穷小替换。观察分子中的因子 $e^{\cos x - 1} - 1$，当 $x \to 0$ 时，$\cos x - 1 \to 0$，因此满足等价无穷小替换的条件：当 $u \to 0$ 时，$e^u - 1 \sim u$。这里 $u = \cos x - 1$，所以有
$$e^{\cos x - 1} - 1 \sim \cos x - 1 \quad (x \to 0).$$
将这一替换代入上一步得到的极限表达式
$$-3e \lim_{x \to 0} \frac{e^{\cos x - 1} - 1}{x^2}$$
中，得到
$$-3e \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}.$$
注意，这里替换是严格的等价无穷小替换，不会改变极限值。此时，极限形式已经转化为一个更简单的三角函数极限，为下一步使用等价无穷小 $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ 做好准备。
公式：e^{\cos x - 1} - 1 \sim \cos x - 1 \quad (x \to 0)
提示：确保 $u \to 0$ 时才能使用 $e^u-1\sim u$，注意替换后极限形式不变。
步骤 4/4
目标：余弦差等价无穷小替换
本步骤对极限表达式中的余弦差项进行等价无穷小替换。已知当$x\to0$时，$\cos x-1\sim -\frac{x^2}{2}$。将这一关系代入当前极限表达式：
原式为 $-3e\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x^2}$。
将 $\cos x-1$ 替换为 $-\frac{x^2}{2}$，得到：
$$-3e\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -3e\lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{2}\right) = -3e\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3e}{2}.$$
因此，原极限的值为 $\frac{3e}{2}$。
最终答案验证：将 $x=0$ 代入原函数 $\frac{e^{\cos x}-e}{x^2}$ 会得到 $\frac{0}{0}$ 型未定式，通过等价无穷小替换和极限运算法则得到确定值 $\frac{3e}{2}$，结果合理。
公式：\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2} \quad (x\to 0)
提示：注意 $\cos x-1$ 的等价无穷小是 $-\frac{x^2}{2}$，不要漏掉负号。
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