2009年考研数学三第8题

设随机变量$Z = XY$，其中$X$与$Y$相互独立，且$Y$服从参数为$\frac{1}{2}$的0-1分布，即$P(Y=0)=P(Y=1)=\frac{1}{2}$。我们需要求$Z$的分布函数$F_Z(z)=P(Z \le z)=P(XY \le z)$。 由于$Y$只取0和1两个值，利用全概率公式，将事件$\{XY \le z\}$按$Y$的取值分解： $$ F_Z(z)=P(XY \le z)=P(XY \le z|Y=0)P(Y=0)+P(XY \le z|Y=1)P(Y=1). $$ 代入$P(Y=0)=P(Y=1)=\frac{1}{2}$，得： $$ F_Z(z)=\frac{1}{2}P(XY \le z|Y=0)+\frac{1}{2}P(XY \le z|Y=1). $$ 接下来分别计算两个条件概率。 当$Y=0$时，$XY=0$，因此事件$\{XY \le z\}$等价于$\{0 \le z\}$。 - 若$z \ge 0$，则$0 \le z$恒成立，故$P(XY \le z|Y=0)=1$。 - 若$z < 0$，则$0 \le z$不成立，故$P(XY \le z|Y=0)=0$。 当$Y=1$时，$XY=X$，因此事件$\{XY \le z\}$等价于$\{X \le z\}$，故$P(XY \le z|Y=1)=P(X \le z)=F_X(z)$，其中$F_X(z)$是$X$的分布函数。 将上述结果代入$F_Z(z)$的表达式，得到： $$ F_Z(z)=\frac{1}{2}\cdot\begin{cases}1, & z \ge 0 \\ 0, & z < 0\end{cases}+\frac{1}{2}F_X(z). $$ 整理后，$Z$的分布函数为： $$ F_Z(z)=\begin{cases} \frac{1}{2}F_X(z)+\frac{1}{2}, & z \ge 0 \\[1em] \frac{1}{2}F_X(z), & z < 0 \end{cases} $$ 此即为$Z$的分布函数表达式，其中$F_X(z)$为$X$的分布函数。

由题意，随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $Y$ 服从两点分布：$P(Y=0)=p$，$P(Y=1)=1-p$。我们需要计算 $P(XY \leq z)$，利用全概率公式： $$P(XY \leq z) = P(XY \leq z \mid Y=0)P(Y=0) + P(XY \leq z \mid Y=1)P(Y=1).$$ 首先化简条件概率 $P(XY \leq z \mid Y=0)$。当 $Y=0$ 时，$XY = X \cdot 0 = 0$，因此事件 $\{XY \leq z\}$ 等价于 $\{0 \leq z\}$。由于 $z$ 是任意实数，该事件是否发生完全取决于 $z$ 的取值： - 若 $z \geq 0$，则 $0 \leq z$ 恒成立，概率为 $1$； - 若 $z < 0$，则 $0 \leq z$ 不成立，概率为 $0$。 但更一般地，我们可以将条件概率写成 $P(0 \leq z)$，即 $P(X \cdot 0 \leq z)$。由于 $X$ 与 $Y$ 独立，条件概率等于无条件概率： $$P(XY \leq z \mid Y=0) = P(X \cdot 0 \leq z).$$ 接下来化简 $P(XY \leq z \mid Y=1)$。当 $Y=1$ 时，$XY = X \cdot 1 = X$，因此事件 $\{XY \leq z\}$ 等价于 $\{X \leq z\}$。同样利用独立性，条件概率等于无条件概率： $$P(XY \leq z \mid Y=1) = P(X \leq z).$$ 至此，两个条件概率均已化简为关于 $X$ 的简单概率表达式，为下一步代入全概率公式做好准备。

本步骤需要根据随机变量$z$的符号分情况讨论概率$P\{X\cdot0\leq z\}$与$P\{X\leq z\}$的关系。注意$X\cdot0$恒等于$0$，因此事件$\{X\cdot0\leq z\}$等价于$\{0\leq z\}$。 **情况一：当$z<0$时** 此时$0\leq z$不成立，故事件$\{X\cdot0\leq z\}$为不可能事件，其概率为$0$，即 $$P\{X\cdot0\leq z\}=0.$$ 另一方面，$X\sim N(0,1)$，其分布函数为$\Phi(z)$，所以 $$P\{X\leq z\}=\Phi(z).$$ 因此在该情况下，$P\{X\cdot0\leq z\}=0$，而$P\{X\leq z\}=\Phi(z)$，两者不相等。 **情况二：当$z\geq0$时** 此时$0\leq z$恒成立，故事件$\{X\cdot0\leq z\}$为必然事件，其概率为$1$，即 $$P\{X\cdot0\leq z\}=1.$$ 同时，$P\{X\leq z\}=\Phi(z)$。由于$z\geq0$，$\Phi(z)\geq\frac12$，但$\Phi(z)$不一定等于$1$（除非$z\to+\infty$），所以一般情况下$P\{X\cdot0\leq z\}=1$，而$P\{X\leq z\}=\Phi(z)$，两者也不相等。 综合两种情况，对于任意实数$z$，$P\{X\cdot0\leq z\}$要么为$0$（$z<0$时），要么为$1$（$z\geq0$时），而$P\{X\leq z\}=\Phi(z)$是连续递增的分布函数，因此两者不可能对所有的$z$相等。这为后续判断随机变量$X\cdot0$与$X$是否同分布提供了依据。

由前一步骤已求得随机变量$Z = X - Y$的分布函数表达式为： 当$z < 0$时， $$ F_Z(z) = \frac{1}{2} \Phi(z) $$ 当$z \geq 0$时， $$ F_Z(z) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \Phi(z) $$ 其中$\Phi(z)$为标准正态分布函数。 现在判断$F_Z(z)$的间断点。由于$\Phi(z)$在全体实数上连续，因此$F_Z(z)$的连续性仅需考察分段点$z=0$处。 计算$z=0$处的左极限： $$ \lim_{z \to 0^-} F_Z(z) = \frac{1}{2} \Phi(0) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$ 计算$z=0$处的右极限： $$ \lim_{z \to 0^+} F_Z(z) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \Phi(0) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$ 由于左极限$\frac{1}{4}$与右极限$\frac{3}{4}$不相等，且$F_Z(0)$由右连续定义（分布函数通常右连续），$F_Z(0) = \frac{3}{4}$，故$z=0$为$F_Z(z)$的跳跃间断点，跳跃度为$\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。 在$z \neq 0$的其他点处，$F_Z(z)$由连续函数$\Phi(z)$经线性组合得到，故处处连续。 因此，$F_Z(z)$的间断点个数为1，即$z=0$。 最终答案：间断点个数为1。