2009年考研数学三第7题

首先，我们需要明确事件互不相容（也称互斥）的定义。在概率论中，两个事件$A$与$B$互不相容，是指它们不可能同时发生，即它们的交集为空集：$A \cap B = \varnothing$。用概率的语言表达，就是$P(AB)=0$，其中$AB$表示事件$A$与$B$的积事件（即同时发生的事件）。 例如，掷一枚骰子，设事件$A$为“点数为奇数”，事件$B$为“点数为偶数”，则$A$与$B$互不相容，因为一个骰子不可能同时既是奇数又是偶数。此时$A \cap B = \varnothing$，$P(AB)=0$。 需要注意，互不相容与独立是两个不同的概念。独立是指一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率，即$P(AB)=P(A)P(B)$。而互不相容要求$P(AB)=0$，但$P(A)$和$P(B)$可能都不为零。例如，若$P(A)>0$且$P(B)>0$，则互不相容时$P(AB)=0$，而$P(A)P(B)>0$，因此$P(AB) \neq P(A)P(B)$，所以互不相容的事件通常不独立（除非其中一个概率为0）。 在解题中，遇到“互不相容”条件时，可以直接使用$P(AB)=0$这一性质，并注意在计算概率加法公式$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$时，$P(AB)$项消失，简化为$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$。 本步骤的关键是准确理解互不相容的数学表达，为后续步骤中应用该条件打下基础。

选项A为：$P(\bar{A}\bar{B}) = 0$。其中$\bar{A}\bar{B}$表示事件A和事件B都不发生。根据概率的基本性质，两个事件都不发生的概率$P(\bar{A}\bar{B})$不一定为0。例如，考虑一个简单的随机试验：掷一枚均匀的骰子，设事件A为“掷出点数大于4”，事件B为“掷出点数小于3”。则$\bar{A}$表示“掷出点数不大于4”，$\bar{B}$表示“掷出点数不小于3”，$\bar{A}\bar{B}$表示“掷出点数不大于4且不小于3”，即点数为3或4，其概率为$\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \neq 0$。因此，$P(\bar{A}\bar{B}) = 0$不一定成立，选项A错误。

选项B的表述为：“若事件$A$与$B$互不相容，则$A$与$B$相互独立”。我们需要判断这一说法是否正确。 首先明确两个概念： - 事件$A$与$B$互不相容（互斥）是指$A \cap B = \varnothing$，即$P(AB)=0$。 - 事件$A$与$B$相互独立是指$P(AB)=P(A)P(B)$。 若$A$与$B$互不相容，则$P(AB)=0$。要使$A$与$B$独立，必须满足$P(A)P(B)=0$，即$P(A)=0$或$P(B)=0$。但一般情况下，$P(A)$和$P(B)$不一定为0，例如：投掷一枚均匀骰子，设$A=\{1,2\}$，$B=\{3,4\}$，则$A$与$B$互不相容，但$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(B)=\frac{1}{3}$，$P(A)P(B)=\frac{1}{9} \neq 0$，因此$A$与$B$不独立。 只有当$P(A)=0$或$P(B)=0$时，互不相容才能推出独立。但题目中未附加此条件，故一般情况下互不相容不能推出独立。因此选项B错误。 总结：互不相容与独立是两个不同的概念，互不相容强调事件不能同时发生，独立强调一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率。除非其中一个事件的概率为0，否则互不相容的事件一定不独立。

本步骤分析选项D。选项D为：$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1$。 首先，根据德摩根律，有： $$\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{AB}$$ 即事件$\bar{A}$与$\bar{B}$的并集等于事件$AB$的补集。 因此，概率为： $$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{AB}) = 1 - P(AB)$$ 由题目已知条件，事件$A$与$B$互不相容（互斥），即$AB = \varnothing$，故$P(AB) = 0$。代入上式得： $$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - 0 = 1$$ 所以选项D正确。 至此，所有选项分析完毕。本题正确答案为D。