2009年考研数学三第5题

首先，我们观察给定的分块矩阵形式为 $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$，其中 $O$ 是 $2 \times 2$ 的零矩阵，$A$ 和 $B$ 均为 $2 \times 2$ 矩阵。根据分块矩阵行列式的计算公式，对于形如 $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$ 的矩阵，其行列式为 $(-1)^{mn} |A| \cdot |B|$，这里 $m$ 和 $n$ 分别是左上角零矩阵的行数和列数（即 $A$ 的行数和列数）。在本例中，$A$ 和 $B$ 都是 $2 \times 2$ 矩阵，因此 $m = 2$，$n = 2$，故 $(-1)^{2 \times 2} = (-1)^4 = 1$。所以该分块矩阵的行列式等于 $|A| \cdot |B|$。 接下来，我们需要计算 $|A|$ 和 $|B|$。根据题目给出的矩阵（此处假设已知 $A$ 和 $B$ 的具体数值，例如 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$），则 $|A| = 1 \times 2 - 0 \times 0 = 2$，$|B| = 3 \times 1 - 0 \times 0 = 3$。因此，分块矩阵的行列式为 $|A| \cdot |B| = 2 \times 3 = 6$。 注意：这里使用的分块矩阵行列式公式仅适用于 $O$ 为方阵且 $A$、$B$ 均为方阵的情形，且公式中的符号因子 $(-1)^{mn}$ 取决于 $A$ 的阶数。由于 $m=n=2$，符号为正，故最终结果为 $6$。

已知矩阵 $M = \begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$，其中 $A$ 和 $B$ 均为可逆方阵，$O$ 为零矩阵。根据分块矩阵求逆公式，形如 $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$ 的矩阵，其逆矩阵为 $\begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}$。 推导过程：设 $M^{-1} = \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}$，其中 $X, Y, Z, W$ 为与 $A, B$ 同阶的待定矩阵。由 $M \cdot M^{-1} = I$ 得： $$\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & O \\ O & I \end{pmatrix}.$$ 计算左乘： 第一行第一块：$O \cdot X + A \cdot Z = A Z = I$，故 $Z = A^{-1}$。 第一行第二块：$O \cdot Y + A \cdot W = A W = O$，故 $W = O$。 第二行第一块：$B \cdot X + O \cdot Z = B X = O$，故 $X = O$。 第二行第二块：$B \cdot Y + O \cdot W = B Y = I$，故 $Y = B^{-1}$。 因此 $M^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}$。 注意：此公式要求 $A$ 和 $B$ 均为可逆矩阵，且分块方式必须严格对应。

已知矩阵 $A$ 和 $B$ 的行列式分别为 $|A|=2$，$|B|=3$。根据逆矩阵与伴随矩阵的关系，对于任意可逆方阵 $M$，有公式 $M^{-1} = \frac{M^*}{|M|}$，其中 $M^*$ 表示 $M$ 的伴随矩阵。 将 $A$ 和 $B$ 分别代入该公式： - 对于矩阵 $A$，有 $A^{-1} = \frac{A^*}{|A|} = \frac{A^*}{2}$。 - 对于矩阵 $B$，有 $B^{-1} = \frac{B^*}{|B|} = \frac{B^*}{3}$。 因此，逆矩阵 $A^{-1}$ 和 $B^{-1}$ 可以用伴随矩阵表示为 $A^{-1} = \frac{1}{2}A^*$，$B^{-1} = \frac{1}{3}B^*$。这一表示将后续计算中的逆矩阵运算转化为伴随矩阵的线性运算，便于利用伴随矩阵的性质进行化简。

已知矩阵 $M = \begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$，其中 $A$ 为 $m$ 阶可逆矩阵，$B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$O$ 为零矩阵。由前几步已求得 $|M| = (-1)^{mn} |A||B|$，且 $M^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}$。本题中 $m=2, n=3$，故 $|M| = (-1)^{6} |A||B| = |A||B|$。又已知 $|A|=2, |B|=3$，所以 $|M| = 2 \times 3 = 6$。 伴随矩阵公式为 $M^* = |M| M^{-1}$。代入得： $$M^* = 6 \times \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6O & 6B^{-1} \\ 6A^{-1} & 6O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O & 6B^{-1} \\ 6A^{-1} & O \end{pmatrix}.$$ 注意，伴随矩阵 $A^* = |A| A^{-1}$，即 $A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$。同理 $B^{-1} = \frac{B^*}{|B|}$。代入上式： $$M^* = \begin{pmatrix} O & 6 \cdot \frac{B^*}{|B|} \\ 6 \cdot \frac{A^*}{|A|} & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O & \frac{6}{|B|} B^* \\ \frac{6}{|A|} A^* & O \end{pmatrix}.$$ 已知 $|A|=2, |B|=3$，所以 $\frac{6}{|A|} = \frac{6}{2}=3$，$\frac{6}{|B|} = \frac{6}{3}=2$。因此： $$M^* = \begin{pmatrix} O & 2B^* \\ 3A^* & O \end{pmatrix}.$$ 与选项 B 完全一致。 **最终答案验证**：根据伴随矩阵的定义，$M M^* = |M| I$。验证：$M M^* = \begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & 2B^* \\ 3A^* & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3A A^* & O \\ O & 2B B^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3|A| I_m & O \\ O & 2|B| I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 I_m & O \\ O & 6 I_n \end{pmatrix} = 6 I_{m+n} = |M| I$，结果正确。