2010年考研数学三第10题

本题要求计算由曲线 $y = \frac{1}{x\sqrt{\ln x}}$，直线 $x = e$ 以及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。首先，我们需要明确旋转体体积的计算公式。对于由曲线 $y = f(x)$（$f(x) \geq 0$），直线 $x = a$，$x = b$（$a < b$）以及 $x$ 轴所围成的曲边梯形，绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体体积为： $$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx.$$ 在本问题中，曲线为 $y = \frac{1}{x\sqrt{\ln x}}$，积分下限为 $x = e$，上限为 $x \to +\infty$（因为曲线向右无限延伸，且 $x$ 轴为渐近线）。因此，旋转体体积的表达式为： $$V = \pi \int_{e}^{+\infty} \left( \frac{1}{x\sqrt{\ln x}} \right)^2 dx = \pi \int_{e}^{+\infty} \frac{1}{x^2 \ln x} \, dx.$$ 注意，这里被积函数在 $x \to +\infty$ 时趋于0，积分收敛性需后续判断。此公式是后续计算的基础，我们将利用它进行积分求解。

由第一步已知，旋转体体积公式为 $V = \pi \int_{e}^{+\infty} y^2 \, dx$，且已得到 $y = \frac{1}{\sqrt{x(1+\ln^2 x)}}$。 首先计算 $y^2$： $$y^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{x(1+\ln^2 x)}} \right)^2 = \frac{1}{x(1+\ln^2 x)}.$$ 将 $y^2$ 代入体积公式： $$V = \pi \int_{e}^{+\infty} \frac{1}{x(1+\ln^2 x)} \, dx.$$ 此时被积函数已化简为 $\frac{1}{x(1+\ln^2 x)}$，积分变量为 $x$，积分下限为 $e$，上限为 $+\infty$。该形式适合下一步使用换元法（令 $t = \ln x$）进行积分。

在第二步中，我们已将旋转体体积表示为积分 $V = \pi \int_{e}^{+\infty} \frac{1}{x(1+\ln^2 x)} \, dx$。为了简化被积函数，我们进行变量代换。令 $u = \ln x$，则对 $u$ 求微分得 $du = \frac{1}{x} dx$，即 $dx = x \, du$。同时，积分限需相应变换：当 $x = e$ 时，$u = \ln e = 1$；当 $x \to +\infty$ 时，$u = \ln x \to +\infty$。将 $dx = x \, du$ 代入原积分，$x$ 与分母中的 $x$ 约去，得到 $V = \pi \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+u^2} \, du$。至此，积分变量由 $x$ 换为 $u$，被积函数简化为 $rac{1}{1+u^2}$，这是一个标准形式，便于后续直接积分。

本步骤的目标是计算广义积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{du}{1+u^2}$。首先，回忆不定积分公式：$\int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u + C$。因此，定积分 $\int_{1}^{b} \frac{du}{1+u^2} = \arctan b - \arctan 1$。由于积分上限为 $+\infty$，需要取极限： $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{du}{1+u^2} = \lim_{b \to +\infty} \left( \arctan b - \arctan 1 \right). $$ 已知 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，且 $\lim_{b \to +\infty} \arctan b = \frac{\pi}{2}$。代入得： $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{du}{1+u^2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}. $$ 因此，该广义积分收敛，值为 $\frac{\pi}{4}$。

在前面的步骤中，我们已经通过定积分建立了旋转体体积的表达式：$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx$，并计算出该积分的值为 $\frac{\pi}{4}$。因此，旋转体的体积为： $$V = \pi \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi^2}{4}.$$ 为了验证结果的正确性，我们可以检查量纲：被积函数 $\sin^2 x$ 无量纲，积分变量 $dx$ 的单位为长度，乘以 $\pi$ 后得到体积单位，结果 $\pi^2/4$ 是一个正数，符合几何直观。另外，$\sin^2 x$ 在 $[0, \pi/2]$ 上的平均值为 $1/2$，区间长度为 $\pi/2$，因此积分值为 $(1/2) \times (\pi/2) = \pi/4$，乘以 $\pi$ 后得 $\pi^2/4$，与计算结果一致。 因此，所求旋转体的体积为 $\frac{\pi^2}{4}$。