2010年考研数学三第11题

首先，我们需要明确收益弹性的定义。在经济学中，收益（或收入）$R$ 通常表示为价格 $p$ 的函数 $R(p)$，而收益弹性 $E_R$ 衡量的是收益对价格变化的敏感程度，即价格变动百分之一所引起的收益变动的百分比。其标准定义为： $$E_R = \frac{dR}{dp} \cdot \frac{p}{R}$$ 或者等价地写作： $$E_R = \frac{dR/dp}{R/p}$$ 其中 $\frac{dR}{dp}$ 是收益对价格的导数，$R$ 是收益函数，$p$ 是价格。这个定义式是后续推导的基础。 根据题目给出的信息，收益弹性 $E_R$ 可以进一步表示为 $1 + p^3$，即： $$\frac{dR}{dp} \cdot \frac{p}{R} = 1 + p^3$$ 这个关系式将用于后续步骤中求解收益函数 $R(p)$ 的具体形式。 注意：收益弹性与需求弹性不同，需求弹性通常定义为 $\frac{dQ}{dp} \cdot \frac{p}{Q}$，其中 $Q$ 是需求量。而收益弹性直接与收益函数相关，在已知收益弹性的情况下，我们可以通过解微分方程来得到收益函数。

由需求价格弹性的定义，$\varepsilon = \frac{p}{R} \cdot \frac{dR}{dp}$。已知$\varepsilon = 1 + p^3$，代入得： $$\frac{p}{R} \cdot \frac{dR}{dp} = 1 + p^3$$ 两边乘以$\frac{R}{p}$，得到： $$\frac{dR}{dp} = (1 + p^3) \cdot \frac{R}{p}$$ 将右边展开： $$\frac{dR}{dp} = \frac{R}{p} + p^2 R$$ 将所有项移到左边： $$\frac{dR}{dp} - \frac{R}{p} - p^2 R = 0$$ 合并含$R$的项： $$\frac{dR}{dp} - \left(\frac{1}{p} + p^2\right)R = 0$$ 这就是关于$R(p)$的一阶线性齐次微分方程。

由前一步得到的微分方程 $\frac{dR}{dp} = \frac{R}{p} + p^2 R$，首先将方程右侧提取公因子 $R$，得 $\frac{dR}{dp} = R\left(\frac{1}{p} + p^2\right)$。假设 $R \neq 0$，将含有 $R$ 的项移到左边，含有 $p$ 的项移到右边，即分离变量： $$ \frac{dR}{R} = \left(\frac{1}{p} + p^2\right) dp $$ 接下来对等式两边分别积分。左边对 $R$ 积分，右边对 $p$ 积分： $$ \int \frac{1}{R} \, dR = \int \left(\frac{1}{p} + p^2\right) dp $$ 计算左边积分得 $\ln|R|$（注意加上积分常数）。计算右边积分：$\int \frac{1}{p} \, dp = \ln|p|$，$\int p^2 \, dp = \frac{1}{3}p^3$。因此右边积分为 $\ln|p| + \frac{1}{3}p^3$。两边积分后得到： $$ \ln|R| = \ln|p| + \frac{1}{3}p^3 + C $$ 其中 $C$ 为任意常数。此即为分离变量并积分后的结果，为下一步求解 $R$ 关于 $p$ 的显式表达式做好准备。

由前一步积分结果得到： $$ \ln R(p) = \ln p + \frac{1}{3}p^3 + C_1 $$ 其中 $C_1$ 为任意常数。为了得到 $R(p)$ 的显式表达式，两边取指数： $$ R(p) = e^{\ln p + \frac{1}{3}p^3 + C_1} = e^{\ln p} \cdot e^{\frac{1}{3}p^3} \cdot e^{C_1} $$ 由于 $e^{\ln p} = p$，且令 $C = e^{C_1}$（$C$ 为任意正常数），则得： $$ R(p) = C \cdot p \cdot e^{\frac{1}{3}p^3} $$ 这就是微分方程的通解形式。注意，这里的 $C$ 是任意常数，可以取任意正实数（实际上也可取负实数，但通常由实际问题背景决定符号）。该通解满足原微分方程，可通过代入验证。

我们已经得到微分方程的通解为 $R(t) = C t e^{\frac{1}{3}t^3}$，其中 $C$ 为任意常数。现在利用初始条件 $R(1) = 1$ 来确定常数 $C$。将 $t = 1$ 和 $R(1) = 1$ 代入通解表达式： $$1 = C \cdot 1 \cdot e^{\frac{1}{3} \cdot 1^3} = C \cdot e^{\frac{1}{3}}$$ 因此，$C = e^{-\frac{1}{3}}$。于是满足初始条件的特解为： $$R(t) = e^{-\frac{1}{3}} t e^{\frac{1}{3}t^3} = t e^{\frac{1}{3}(t^3 - 1)}$$

根据前几步的推导，我们已经得到了收益函数 $R(p)$ 与价格 $p$ 之间的函数关系。具体地，由需求函数 $Q = e^{\frac{1}{3}(p^3 - 1)}$，收益 $R(p) = p \cdot Q$，因此直接代入得： $$ R(p) = p \cdot e^{\frac{1}{3}(p^3 - 1)}. $$ 这是收益关于价格的最终表达式。为了验证其正确性，我们可以检查几个特殊点： - 当 $p = 1$ 时，$R(1) = 1 \cdot e^{\frac{1}{3}(1 - 1)} = 1 \cdot e^0 = 1$，此时需求 $Q = e^0 = 1$，收益 $1 \times 1 = 1$，一致。 - 当 $p = 0$ 时，$R(0) = 0 \cdot e^{\frac{1}{3}(0 - 1)} = 0$，收益为零，符合实际（价格为0时无收益）。 - 当 $p$ 很大时，指数项 $e^{\frac{1}{3}(p^3 - 1)}$ 增长极快，收益也迅速增大，但实际中价格过高会导致需求下降，此模型在 $p$ 较大时可能不再适用，但数学表达式本身是成立的。 因此，最终收益函数为 $R(p) = p e^{\frac{1}{3}(p^3 - 1)}$。该表达式已无法进一步化简，即为所求。