2010年考研数学三第12题

已知曲线方程为 $y = x^3 + ax^2 + bx + 1$，且点 $(-1, 0)$ 是曲线的拐点。拐点首先必须位于曲线上，因此将该点的坐标代入曲线方程，应满足等式成立。代入 $x = -1$，$y = 0$ 得： $$0 = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 1$$ 计算各项：$(-1)^3 = -1$，$a(-1)^2 = a$，$b(-1) = -b$，常数项为 $+1$。于是有： $$0 = -1 + a - b + 1$$ 合并常数项 $-1 + 1 = 0$，得到： $$0 = a - b$$ 即 $a - b = 0$，亦即 $a = b$。这个方程建立了参数 $a$ 与 $b$ 之间的第一个关系式，为后续利用拐点的二阶导数条件（$y''(-1)=0$）以及可能的其他条件（如拐点处三阶导数不为零）提供了基础。

已知函数 $y = x^3 + a x^2 + b x + 1$，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。第一步已求得一阶导数为 $y' = 3x^2 + 2a x + b$。 现在对一阶导数 $y'$ 再次求导，得到二阶导数 $y''$。根据幂函数求导公式 $(x^n)' = n x^{n-1}$ 以及常数求导法则，对 $y'$ 的每一项分别求导： - 第一项 $3x^2$ 的导数为 $3 \cdot 2 x^{2-1} = 6x$； - 第二项 $2a x$ 的导数为 $2a \cdot 1 x^{1-1} = 2a$（注意 $a$ 是常数，所以 $2a$ 作为系数保持不变）； - 第三项 $b$ 是常数，其导数为 $0$。 因此，二阶导数为： $$ y'' = 6x + 2a. $$ 此结果即为所求。

已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，且点$(-1,0)$是曲线的拐点。拐点的必要条件是函数在该点处的二阶导数为零。 首先，求函数的一阶导数： $$f'(x)=3x^2+2ax+b$$ 再求二阶导数： $$f''(x)=6x+2a$$ 由于$x=-1$是拐点的横坐标，因此有$f''(-1)=0$，即： $$6\times(-1)+2a=0$$ $$-6+2a=0$$ $$2a=6$$ $$a=3$$ 因此，参数$a$的值为$3$。这一结果将用于后续步骤中求解$b$和$c$。

由前一步已知条件$a - b = 0$，即$a = b$。同时，在之前的推导中已经求得$a = 3$。将$a = 3$代入关系式$a - b = 0$，得到$3 - b = 0$，移项解得$b = 3$。因此，$b = a = 3$。 最终答案为：$a = 3$，$b = 3$。验证：将$a = 3$，$b = 3$代入原题条件，满足所有方程，结果正确。