2010年考研数学三第13题

首先，我们需要将目标行列式 $|A+B^{-1}|$ 进行变形，以便利用已知条件 $|A|=1$ 和 $|B|=2$ 进行计算。观察表达式，注意到 $A+B^{-1}$ 可以写成 $A B B^{-1} + B^{-1}$，因为 $A B B^{-1} = A E = A$，其中 $E$ 为单位矩阵。于是有： $$|A+B^{-1}| = |A B B^{-1} + B^{-1}|.$$ 接下来，提取公因子 $B^{-1}$（注意是右乘），得到： $$|A+B^{-1}| = |(AB + E) B^{-1}|.$$ 根据行列式的乘法性质，对于同阶方阵 $P$ 和 $Q$，有 $|PQ| = |P| \cdot |Q|$。因此： $$|(AB + E) B^{-1}| = |AB + E| \cdot |B^{-1}|.$$ 这样，我们就将原行列式分解为两个行列式的乘积：$|AB+E|$ 和 $|B^{-1}|$。其中 $|B^{-1}| = \frac{1}{|B|} = \frac{1}{2}$，而 $|AB+E|$ 需要进一步处理。这一步的关键是利用矩阵乘法的结合律和行列式的乘法性质，将不易直接计算的 $|A+B^{-1}|$ 转化为更容易处理的形式。

我们需要将行列式 $|A^{-1}+B|$ 进行变形，以便利用已知条件。首先，注意到 $A^{-1} = A^{-1}E$，其中 $E$ 是单位矩阵。因此，可以写成： $$|A^{-1}+B| = |A^{-1}E + A^{-1}AB|.$$ 这里我们利用了 $B = EB = (A^{-1}A)B = A^{-1}(AB)$，因为矩阵乘法满足结合律。于是有： $$|A^{-1}+B| = |A^{-1}E + A^{-1}(AB)| = |A^{-1}(E + AB)|.$$ 根据行列式的乘法性质，对于同阶方阵 $P$ 和 $Q$，有 $|PQ| = |P|\cdot|Q|$。因此： $$|A^{-1}(E+AB)| = |A^{-1}| \cdot |E+AB|.$$ 这样，原行列式就变形为 $|A^{-1}|$ 与 $|E+AB|$ 的乘积。这一步的关键是将 $B$ 表示为 $A^{-1}(AB)$，从而提取公因子 $A^{-1}$。注意，$A$ 可逆保证了 $A^{-1}$ 存在，且 $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$。

由步骤2已知，矩阵$A$可逆，且$|A^{-1}| = \frac{1}{3}$，同时已知条件$|E+AB| = 2$。我们需要利用行列式的性质建立$|E+AB|$与$|A^{-1}+B|$之间的关系。 首先，注意到$E+AB$是$n$阶方阵，而$A^{-1}+B$也是$n$阶方阵。由于$A$可逆，我们可以将$A^{-1}+B$写成$A^{-1}(E+AB)$的形式，因为： $$A^{-1}(E+AB) = A^{-1}E + A^{-1}AB = A^{-1} + B.$$ 因此，有等式： $$A^{-1}+B = A^{-1}(E+AB).$$ 两边取行列式，利用行列式的乘法性质（$|AB| = |A| \cdot |B|$），得到： $$|A^{-1}+B| = |A^{-1}(E+AB)| = |A^{-1}| \cdot |E+AB|.$$ 将已知数值代入：$|A^{-1}| = \frac{1}{3}$，$|E+AB| = 2$，于是： $$|A^{-1}+B| = \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}.$$ 但题目步骤概要中给出的结果是$|E+AB| = \frac{|A^{-1}+B|}{|A^{-1}|} = \frac{2}{1/3} = 6$，这里需要仔细核对：实际上，从等式$|A^{-1}+B| = |A^{-1}| \cdot |E+AB|$出发，可以解出$|E+AB| = \frac{|A^{-1}+B|}{|A^{-1}|}$。但题目中已知$|E+AB|=2$，而$|A^{-1}+B|$是未知的，因此我们实际上应该利用已知的$|E+AB|$和$|A^{-1}|$来求出$|A^{-1}+B|$，即$|A^{-1}+B| = \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}$。然而，步骤概要中却将$|E+AB|$作为未知量，并得出$|E+AB|=6$，这暗示了题目可能另有条件（例如已知$|A^{-1}+B|=2$）。但根据当前步骤目标“建立等式关系”，我们只需明确$|A^{-1}+B| = |A^{-1}| \cdot |E+AB|$这一核心等式，并代入已知数值即可。 因此，本步骤建立的等式关系为： $$|A^{-1}+B| = |A^{-1}| \cdot |E+AB| = \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}.$$ 或者，如果题目中已知的是$|A^{-1}+B|=2$，则可得$|E+AB| = \frac{2}{1/3} = 6$。请根据实际题目条件选择使用。

本步骤为求解过程的最后一步，目标是将前几步得到的中间结果代入，计算出 $|A + B^{-1}|$ 的具体数值。 由步骤1的推导，我们已知 $|A + B^{-1}| = |AB + E| \cdot |B^{-1}|$。这一步的推导利用了行列式的乘法性质：对于同阶方阵 $A$ 和 $B$，有 $|AB| = |A| \cdot |B|$。具体地，将 $A + B^{-1}$ 右乘矩阵 $B$，得到 $(A + B^{-1})B = AB + E$，两边取行列式得 $|A + B^{-1}| \cdot |B| = |AB + E|$，从而 $|A + B^{-1}| = |AB + E| \cdot |B^{-1}|$。 步骤2中，我们计算了 $|AB + E|$ 的值。已知 $A$ 和 $B$ 均为3阶矩阵，且满足 $|A| = 3$，$|B| = 2$，$|A^{-1} + B| = 2$。通过恒等变形 $A^{-1} + B = A^{-1}(E + AB)$，两边取行列式得 $|A^{-1} + B| = |A^{-1}| \cdot |E + AB| = \frac{1}{|A|} \cdot |AB + E|$。代入已知数值 $|A^{-1} + B| = 2$，$|A| = 3$，解得 $|AB + E| = 2 \times 3 = 6$。 步骤3中，我们计算了 $|B^{-1}|$。由于 $|B| = 2$，且 $B$ 可逆，则 $|B^{-1}| = \frac{1}{|B|} = \frac{1}{2}$。 现在，将步骤2和步骤3的结果代入步骤1的表达式： $$|A + B^{-1}| = |AB + E| \cdot |B^{-1}| = 6 \times \frac{1}{2} = 3.$$ 因此，所求行列式 $|A + B^{-1}|$ 的值为 $3$。 最终答案验证：我们通过三步推导，从已知条件出发，利用行列式的性质（乘法性质、逆矩阵的行列式公式）以及恒等变形，逐步计算出目标值。每一步的运算均符合线性代数基本定理，结果合理。最终答案为 $3$。