2010年考研数学三第14题

首先，明确题目中统计量$T$的定义：$T = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$，其中$X_1, X_2, \ldots, X_n$是来自某总体的简单随机样本。我们的目标是计算$E(T)$。 根据数学期望的线性性质，对于任意随机变量之和的期望等于各期望之和，且常数因子可以提到期望符号外面。因此， $$ E(T) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right) = \frac{1}{n}E\left(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i^2). $$ 由于样本是简单随机样本，各$X_i$独立同分布，因此每个$X_i^2$的期望相同，记$E(X_i^2) = \mu_2$（即总体的二阶原点矩）。于是， $$ E(T) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mu_2 = \mu_2. $$ 所以，$E(T)$的表达式就是总体的二阶原点矩$E(X^2)$。这一结果说明，无论样本容量$n$是多少，$T$都是总体二阶原点矩的无偏估计量。

由题意，样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 独立同分布，因此每个 $X_i$ 的分布相同，从而各 $X_i^2$ 的期望也相等，即 $E(X_1^2) = E(X_2^2) = \cdots = E(X_n^2)$。 已知 $T = \sum_{i=1}^n X_i^2$，则 $E(T) = E\left(\sum_{i=1}^n X_i^2\right) = \sum_{i=1}^n E(X_i^2)$。 利用同分布性质，每个 $E(X_i^2)$ 都等于 $E(X_1^2)$，因此 $$ E(T) = \sum_{i=1}^n E(X_1^2) = n \cdot E(X_1^2). $$ 由于题目要求计算 $E(T)$ 的表达式，而 $E(X_1^2)$ 是未知的，但根据步骤目标，我们只需将求和简化为 $n$ 倍的 $E(X_1^2)$ 即可。后续步骤将利用其他条件（如总体分布或样本信息）进一步求出 $E(X_1^2)$ 的具体值。 因此，本步骤的关键结论是： $$ E(T) = n \cdot E(X_1^2). $$

已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 独立同分布。对于单个正态随机变量 $X_1$，我们需要计算 $E(X_1^2)$。 根据方差公式： $$D(X_1) = E(X_1^2) - [E(X_1)]^2$$ 移项可得： $$E(X_1^2) = D(X_1) + [E(X_1)]^2$$ 由于 $X_1 \sim N(\mu, \sigma^2)$，其期望 $E(X_1) = \mu$，方差 $D(X_1) = \sigma^2$。代入上式： $$E(X_1^2) = \sigma^2 + \mu^2$$ 因此，单个正态随机变量平方的期望等于方差与期望的平方之和。这个结果将用于后续计算样本二阶中心矩的期望。

已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则样本 $X_1$ 服从相同的正态分布，即 $X_1 \sim N(\mu, \sigma^2)$。因此，$X_1$ 的数学期望为 $E(X_1) = \mu$，方差为 $D(X_1) = \sigma^2$。 由概率论中期望与方差的关系，对于随机变量 $X_1$，有 $E(X_1^2) = D(X_1) + [E(X_1)]^2$。代入已知的期望和方差，得到： $$E(X_1^2) = \sigma^2 + \mu^2.$$ 题目中定义的统计量 $T = X_1^2$，因此 $T$ 的数学期望为： $$E(T) = E(X_1^2) = \sigma^2 + \mu^2.$$ 至此，我们完成了全部推导。最终结果为 $E(T) = \sigma^2 + \mu^2$。 验证：该结果符合正态分布二阶矩的公式，且当 $\mu=0$ 时退化为方差 $\sigma^2$，与标准正态分布的性质一致，故答案正确。