📋 详细解题步骤
目标：设极限并取对数
首先，设所求极限为 $L$，即
$$
L = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{\ln x}}.
$$
由于该极限是 $1^{\infty}$ 型未定式，直接计算困难，因此考虑取自然对数将其转化为 $0 \cdot \infty$ 型或 $\frac{0}{0}$ 型。对等式两边取自然对数，得
$$
\ln L = \ln \left[ \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{\ln x}} \right] = \lim_{x \to 0^+} \ln \left[ \left( \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{\ln x}} \right].
$$
利用对数性质 $\ln(a^b) = b \ln a$，有
$$
\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\ln x} \cdot \ln \left( \frac{1}{x} \right).
$$
而 $\ln(1/x) = -\ln x$，代入得
$$
\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{-\ln x}{\ln x} = \lim_{x \to 0^+} (-1) = -1.
$$
因此，$\ln L = -1$，从而 $L = e^{-1}$。注意，这里直接化简得到了结果，但题目要求分步骤处理，本步骤仅完成设极限并取对数的操作，后续步骤将详细处理该极限的转化过程。实际上，更常见的处理方式是将原极限改写为 $\lim_{x \to 0^+} \left( x^{-1} \right)^{1/\ln x} = \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{\ln(1/x)}{\ln x}}$，然后取对数后得到 $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1/x)}{\ln x}$，即 $\lim_{x \to 0^+} \frac{-\ln x}{\ln x} = -1$。
公式：$$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1/x)}{\ln x}$$
提示：取对数后注意化简 $\ln(1/x) = -\ln x$，可简化计算。
目标：分析x^(1/x)-1的渐近行为
为了分析当$x \to \infty$时$x^{1/x} - 1$的渐近行为，我们首先将$x^{1/x}$写成指数形式：
$$
x^{1/x} = e^{\frac{\ln x}{x}}.
$$
令$t = \frac{\ln x}{x}$，则当$x \to \infty$时，$t \to 0$（因为$\ln x$的增长速度远慢于$x$）。利用指数函数$e^t$在$t=0$附近的泰勒展开：
$$
e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2!} + \cdots,
$$
于是
$$
e^{\frac{\ln x}{x}} = 1 + \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{2}\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2 + \cdots.
$$
因此，
$$
x^{1/x} - 1 = \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{2}\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2 + \cdots.
$$
当$x \to \infty$时，$\frac{\ln x}{x}$是主项，高阶项相对于它来说是无穷小量，所以有渐近等价关系：
$$
x^{1/x} - 1 \sim \frac{\ln x}{x} \quad (x \to \infty).
$$
这个渐近行为将用于后续步骤中对被积函数进行等价无穷小替换，从而判断积分的收敛性。
公式：x^{1/x} - 1 \sim \frac{\ln x}{x} \quad (x \to \infty)
提示：牢记e^t展开的前两项，并注意lnx/x是趋于0的无穷小量。
目标：代入对数极限并化简
在前一步中，我们已将原极限转化为 $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(x^{1/x} - 1\right)}{\ln x}$ 的形式。现在需要处理分子中的对数项 $\ln\left(x^{1/x} - 1\right)$。
首先，注意到 $x^{1/x} = e^{\frac{\ln x}{x}}$，当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\ln x}{x} \to 0$，因此 $x^{1/x} \to 1$。于是 $x^{1/x} - 1$ 是一个无穷小量。利用等价无穷小：当 $u \to 0$ 时，$\ln(1+u) \sim u$，但这里我们面对的是 $\ln(x^{1/x} - 1)$，而 $x^{1/x} - 1$ 本身趋于 0，不能直接使用该等价关系，因为对数内部是 $x^{1/x} - 1$ 本身，而不是 $1+u$ 的形式。我们需要先对 $x^{1/x} - 1$ 进行更精细的展开。
由 $x^{1/x} = e^{\frac{\ln x}{x}}$，利用指数函数的泰勒展开：$e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2} + o(t^2)$，其中 $t = \frac{\ln x}{x}$，于是
$$
x^{1/x} = 1 + \frac{\ln x}{x} + \frac{(\ln x)^2}{2x^2} + o\left(\frac{(\ln x)^2}{x^2}\right).
$$
因此
$$
x^{1/x} - 1 = \frac{\ln x}{x} + \frac{(\ln x)^2}{2x^2} + o\left(\frac{(\ln x)^2}{x^2}\right).
$$
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\ln x}{x} \to 0$，且 $\frac{(\ln x)^2}{x^2}$ 是更高阶的无穷小。所以 $x^{1/x} - 1 \sim \frac{\ln x}{x}$。
现在考虑 $\ln\left(x^{1/x} - 1\right)$。由于 $x^{1/x} - 1$ 是无穷小，不能直接取对数，但我们可以将其写成 $\ln\left(\frac{\ln x}{x} \cdot \left(1 + \frac{\ln x}{2x} + o\left(\frac{\ln x}{x}\right)\right)\right)$。于是
$$
\ln\left(x^{1/x} - 1\right) = \ln\left(\frac{\ln x}{x}\right) + \ln\left(1 + \frac{\ln x}{2x} + o\left(\frac{\ln x}{x}\right)\right).
$$
由于 $\frac{\ln x}{x} \to 0$，第二个对数中的小量也趋于 0，利用 $\ln(1+u) \sim u$，有
$$
\ln\left(1 + \frac{\ln x}{2x} + o\left(\frac{\ln x}{x}\right)\right) \sim \frac{\ln x}{2x} \to 0.
$$
因此，当 $x \to +\infty$ 时，
$$
\ln\left(x^{1/x} - 1\right) = \ln\left(\frac{\ln x}{x}\right) + o(1) = \ln(\ln x) - \ln x + o(1).
$$
这里 $o(1)$ 表示趋于 0 的项。代入原极限，分子为 $\ln(\ln x) - \ln x + o(1)$，分母为 $\ln x$，于是极限化为
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(\ln x) - \ln x + o(1)}{\ln x} = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\ln(\ln x)}{\ln x} - 1 + \frac{o(1)}{\ln x} \right).
$$
由于 $\frac{\ln(\ln x)}{\ln x} \to 0$，$\frac{o(1)}{\ln x} \to 0$，因此极限值为 $-1$。
本步骤的关键在于利用泰勒展开得到 $x^{1/x} - 1$ 的等价无穷小 $\frac{\ln x}{x}$，进而将对数项化简为 $\ln(\ln x) - \ln x$ 的形式，为后续计算奠定基础。
公式：$$\ln\left(x^{1/x} - 1\right) \sim \ln(\ln x) - \ln x \quad (x \to +\infty)$$
提示：先对 $x^{1/x}$ 做泰勒展开，再取对数，注意无穷小量的阶数判断。
目标：计算化简后的极限
在上一化简步骤中，我们得到：
$$
\ln L = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\ln(\ln x)}{\ln x} - 1 \right)
$$
现在需要计算该极限。首先考虑第一项 $\frac{\ln(\ln x)}{\ln x}$。当 $x \to +\infty$ 时，$\ln x \to +\infty$，$\ln(\ln x) \to +\infty$，这是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式，可以使用洛必达法则。令 $t = \ln x$，则当 $x \to +\infty$ 时，$t \to +\infty$，且 $\ln(\ln x) = \ln t$，于是：
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(\ln x)}{\ln x} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t}
$$
对 $\frac{\ln t}{t}$ 应用洛必达法则（分子分母分别求导）：
$$
\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{1/t}{1} = \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{t} = 0
$$
因此，$\frac{\ln(\ln x)}{\ln x} \to 0$。代入原式：
$$
\ln L = 0 - 1 = -1
$$
所以，化简后的极限结果为 $\ln L = -1$。
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(\ln x)}{\ln x} = 0, \quad \ln L = -1
提示：使用换元 $t=\ln x$ 将复杂极限转化为熟悉的 $\frac{\ln t}{t}$ 形式，再应用洛必达法则。
目标：还原原极限
由前一步得到 $\ln L = -1$，因此原极限 $L$ 满足 $L = e^{-1}$。根据指数函数的定义，$e^{-1} = \frac{1}{e}$。所以原极限的值为 $\frac{1}{e}$。
验证：将 $L = \frac{1}{e}$ 代入原极限表达式，检查是否满足极限过程。由于推导过程中每一步等价变形均保持极限存在且相等，且 $\ln L = -1$ 是由极限运算得到的唯一解，因此 $L = \frac{1}{e}$ 即为所求。
最终答案为：
$$\boxed{\dfrac{1}{e}}$$
公式：$$L = e^{-1} = \frac{1}{e}$$
提示：取对数后求极限，最后一定要还原为原极限值。