2010年考研数学三第22题

对于二维连续型随机变量$(X,Y)$，其概率密度函数$f(x,y)$必须满足归一化条件：在整个平面上积分为1。已知$f(x,y)=A e^{-2x^2+2xy-y^2}$，其中$A$为待定常数。因此有： $$ \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y) \, dx \, dy = \iint_{\mathbb{R}^2} A e^{-2x^2+2xy-y^2} \, dx \, dy = 1. $$ 由于$A$为常数，可提出积分号外： $$ A \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-2x^2+2xy-y^2} \, dx \, dy = 1. $$ 接下来需要计算二重积分$I = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-2x^2+2xy-y^2} \, dx \, dy$。观察指数部分：$-2x^2+2xy-y^2$，这是一个二次型。为简化积分，我们将其配方。将$y$视为变量，$x$视为参数，对$y$进行配方： $$ -2x^2+2xy-y^2 = - (y^2 - 2xy) - 2x^2 = -\left[(y - x)^2 - x^2\right] - 2x^2 = -(y-x)^2 + x^2 - 2x^2 = -(y-x)^2 - x^2. $$ 因此， $$ e^{-2x^2+2xy-y^2} = e^{-x^2} \cdot e^{-(y-x)^2}. $$ 于是积分化为： $$ I = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-x^2} e^{-(y-x)^2} \, dx \, dy = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y-x)^2} \, dy \right) dx. $$ 内层积分中，令$t = y - x$，则$dy = dt$，积分限不变，得到： $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y-x)^2} \, dy = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \, dt = \sqrt{\pi}. $$ （这里利用了高斯积分公式$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \, dt = \sqrt{\pi}$。） 代入得： $$ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cdot \sqrt{\pi} \, dx = \sqrt{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi} = \pi. $$ 因此，$I = \pi$。代入归一化方程： $$ A \cdot \pi = 1 \quad \Rightarrow \quad A = \frac{1}{\pi}. $$ 至此，我们通过归一化条件建立了关于$A$的方程，并解出了$A = \frac{1}{\pi}$。

我们需要对联合密度函数中的指数部分 $-2x^2 + 2xy - y^2$ 进行配方，以便将其分解为两个独立因子的乘积形式。 首先，将表达式按 $x$ 的项整理： $$-2x^2 + 2xy - y^2 = -2x^2 + 2xy - y^2.$$ 为了配方，我们先将含 $x$ 的项提取公因子 $-2$： $$-2x^2 + 2xy = -2(x^2 - xy).$$ 对括号内的 $x^2 - xy$ 进行配方： $$x^2 - xy = x^2 - xy + \left(\frac{y}{2}\right)^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2 = \left(x - \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{4}.$$ 于是 $$-2(x^2 - xy) = -2\left[\left(x - \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{4}\right] = -2\left(x - \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{y^2}{2}.$$ 代入原式： $$-2x^2 + 2xy - y^2 = -2\left(x - \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{y^2}{2} - y^2 = -2\left(x - \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{2}.$$ 但题目要求的形式是 $-x^2 - (y-x)^2$，我们需要检查是否等价。实际上，直接对原式进行另一种配方更简洁： 将原式视为关于 $y$ 的二次型： $$-2x^2 + 2xy - y^2 = -y^2 + 2xy - 2x^2.$$ 对 $y$ 配方： $$-y^2 + 2xy = -(y^2 - 2xy) = -\left[(y - x)^2 - x^2\right] = -(y - x)^2 + x^2.$$ 于是 $$-2x^2 + 2xy - y^2 = -(y - x)^2 + x^2 - 2x^2 = -(y - x)^2 - x^2.$$ 这正是 $-x^2 - (y-x)^2$。因此，联合密度函数中的指数部分可写为： $$\exp\left(-2x^2 + 2xy - y^2\right) = \exp\left(-x^2 - (y-x)^2\right) = e^{-x^2} \cdot e^{-(y-x)^2}.$$ 这样，联合密度 $f(x,y) = \frac{1}{\pi} e^{-2x^2+2xy-y^2}$ 就分解为： $$f(x,y) = \frac{1}{\pi} e^{-x^2} \cdot e^{-(y-x)^2}.$$ 注意，这里 $e^{-x^2}$ 只依赖于 $x$，而 $e^{-(y-x)^2}$ 依赖于 $x$ 和 $y$，但形式上已经为后续求条件分布做好了准备。

首先，将二重积分化为累次积分形式： $$ I = A \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y-x)^2} dy \right) dx. $$ 先计算内层积分 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y-x)^2} dy$。令 $t = y - x$，则 $dy = dt$，当 $y \to -\infty$ 时 $t \to -\infty$，当 $y \to \infty$ 时 $t \to \infty$，于是 $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y-x)^2} dy = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\pi}. $$ 因此，原积分化为 $$ I = A \sqrt{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx. $$ 再计算外层积分 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$，同样利用正态分布积分公式，得 $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}. $$ 所以 $$ I = A \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi} = A \pi. $$ 至此，积分已完全分离并计算完毕，结果为 $I = A\pi$。

由前一步骤得到的归一化条件： $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx \, dy = 1 $$ 其中 $f(x,y) = A e^{-(x^2 + y^2)}$。 首先将二重积分化为两个独立积分的乘积： $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} A e^{-(x^2 + y^2)} \, dx \, dy = A \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \right) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} \, dy \right) $$ 已知高斯积分公式： $$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} \, dt = \sqrt{\pi} $$ 因此： $$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} \, dy = \sqrt{\pi} $$ 代入得： $$ A \cdot \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi} = A \pi = 1 $$ 解得： $$ A = \frac{1}{\pi} $$

为了求随机变量$X$的边缘概率密度函数$f_X(x)$，我们需要对联合概率密度函数$f(x,y)$关于$y$在全体实数范围内积分。已知联合密度为： $$ f(x,y) = \frac{1}{\pi} e^{-x^2} e^{-(y-x)^2} $$ 因此， $$ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy = \frac{1}{\pi} e^{-x^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y-x)^2} \, dy $$ 注意到积分 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y-x)^2} \, dy$ 是一个高斯积分。令 $t = y - x$，则 $dt = dy$，积分限不变，于是 $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y-x)^2} \, dy = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \, dt = \sqrt{\pi} $$ （因为标准高斯积分 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\pi}$。） 代入上式得： $$ f_X(x) = \frac{1}{\pi} e^{-x^2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2} $$ 因此，$X$的边缘概率密度函数为 $f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}$，其中 $x \in (-\infty, \infty)$。该结果符合正态分布的形式，即 $X \sim N\left(0, \frac{1}{2}\right)$，因为 $\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot \frac{1}{2}}} e^{-\frac{x^2}{2 \cdot \frac{1}{2}}}$。

已知联合概率密度函数为 $f(x,y) = \frac{1}{\pi} e^{-(x^2 + y^2)}$，边缘概率密度函数为 $f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}$。根据条件概率密度的定义公式： $$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$$ 代入已知表达式： $$f_{Y|X}(y|x) = \frac{\frac{1}{\pi} e^{-(x^2 + y^2)}}{\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}}$$ 化简系数： $$\frac{1/\pi}{1/\sqrt{\pi}} = \frac{1}{\pi} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$$ 化简指数部分： $$e^{-(x^2 + y^2)} \cdot e^{x^2} = e^{-x^2 - y^2 + x^2} = e^{-y^2}$$ 注意，这里指数化简后得到 $e^{-y^2}$，但题目要求的结果是 $e^{-(y-x)^2}$，说明原联合概率密度函数可能不是 $e^{-(x^2+y^2)}$ 的形式。实际上，根据题目上下文，联合概率密度应为 $f(x,y) = \frac{1}{\pi} e^{-(x^2 + (y-x)^2)}$ 或类似形式。我们按照题目给出的最终结果进行推导： 假设联合概率密度为 $f(x,y) = \frac{1}{\pi} e^{-[x^2 + (y-x)^2]}$，边缘密度 $f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}$，则： $$f_{Y|X}(y|x) = \frac{\frac{1}{\pi} e^{-[x^2 + (y-x)^2]}}{\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(y-x)^2}$$ 因此，条件概率密度函数为： $$f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(y-x)^2}, \quad -\infty < y < +\infty$$ 验证：该函数对 $y$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上的积分为 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(y-x)^2} dy = 1$（令 $t = y-x$，化为标准正态积分），满足概率密度函数的归一性。