2011年考研数学三第12题

首先，我们需要确定所求平面图形在$x$轴上的投影范围，即积分区间。题目中给出的曲线为$y=\sqrt{x^2-1}$，直线$x=2$以及$x$轴（即$y=0$）所围成的区域位于$x$轴上方。 为了找到积分区间的左端点，令曲线与$x$轴相交，即解方程$y=\sqrt{x^2-1}=0$。两边平方得$x^2-1=0$，解得$x=\pm1$。由于区域在$x$轴上方，且曲线$y=\sqrt{x^2-1}$的定义域要求$x^2-1\ge0$，即$x\le-1$或$x\ge1$。结合题目中给出的直线$x=2$（右边界），我们只考虑$x\ge1$的部分，因此取$x=1$作为积分下限。 右边界由直线$x=2$直接给出，因此积分上限为$x=2$。 综上，积分区间为$[1,2]$。

根据定积分的几何应用，平面曲线$y=f(x)$（$f(x)\geq 0$）在区间$[a,b]$上绕$x$轴旋转一周所得的旋转体体积公式为： $$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx = \pi \int_a^b y^2 \, dx.$$ 本题中，曲线方程为$x^2 - y^2 = 1$，且$y \geq 0$，因此可解出$y = \sqrt{x^2 - 1}$。将$y$代入体积公式，得到被积函数： $$y^2 = (\sqrt{x^2 - 1})^2 = x^2 - 1.$$ 于是，旋转体体积公式具体化为： $$V = \pi \int_a^b (x^2 - 1) \, dx,$$ 其中积分下限$a$和上限$b$由曲线与$x$轴的交点以及题目所给范围确定（将在下一步骤中完成）。 注意：由于$y = \sqrt{x^2 - 1}$的定义域为$x \leq -1$或$x \geq 1$，且题目通常考虑$x \geq 1$的部分（双曲线右支），因此积分区间应为$[1, b]$，$b$的具体值由题目条件（如与直线$x=2$围成）给出。

本步骤的目标是计算旋转体体积公式中的定积分。由前一步骤已得到体积表达式 $V = \pi \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx$。 首先，计算被积函数 $x^2 - 1$ 的原函数。根据基本积分公式，$\int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3$，$\int 1 \, dx = x$，因此 $\int (x^2 - 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - x + C$。 代入积分上下限，利用牛顿-莱布尼茨公式： $$ \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} \cdot 1^3 - 1 \right). $$ 计算各部分： - 上限代入：$\frac{1}{3} \cdot 8 - 2 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3}$。 - 下限代入：$\frac{1}{3} \cdot 1 - 1 = \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2}{3}$。 因此， $$ \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. $$ 最后乘以 $\pi$，得到旋转体体积： $$ V = \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3}. $$ **最终答案验证**：将结果代入原问题，体积为 $\frac{4\pi}{3}$，单位是立方单位。计算过程中每一步的代数运算均正确，且积分上下限代入无误，结果合理。