2011年考研数学三第13题

已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，且秩为 $1$。实对称矩阵必可正交对角化，即存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$，其中 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值。矩阵的秩等于其非零特征值的个数（计入代数重数），因为实对称矩阵可对角化，几何重数等于代数重数。由于 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})=1$，故 $\boldsymbol{A}$ 只有一个非零特征值，其余两个特征值为 $0$。设非零特征值为 $\lambda$（$\lambda\neq0$），则特征值全体为 $\lambda,0,0$。

已知矩阵 $A$ 的各行元素之和均为 $3$，即对于矩阵 $A$ 的每一行，该行所有元素相加等于 $3$。设列向量 $\boldsymbol{\alpha} = (1,1,1)^T$，则 $A\boldsymbol{\alpha}$ 的第 $i$ 个分量等于 $A$ 的第 $i$ 行元素与 $\boldsymbol{\alpha}$ 对应分量乘积之和，即 $A$ 的第 $i$ 行元素之和，因此 $A\boldsymbol{\alpha} = (3,3,3)^T = 3\boldsymbol{\alpha}$。这表明 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $A$ 的一个特征向量，对应的特征值为 $3$。由于 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，且已知 $A$ 的秩为 $1$（由题目条件或前一步骤可得），故 $A$ 的非零特征值只有一个，即 $3$。因此，矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\lambda = 3$。

由前两步可知，二次型矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = 3$（单重）和 $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$（二重）。在正交变换下，二次型标准形的系数即为矩阵的特征值。因此，存在正交矩阵 $Q$，使得线性变换 $\boldsymbol{x} = Q\boldsymbol{y}$ 将原二次型化为标准形。 具体地，设 $\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, y_3)^\mathrm{T}$，则标准形为： $$ f = 3y_1^2 + 0 \cdot y_2^2 + 0 \cdot y_3^2 = 3y_1^2. $$ 这里 $y_1$ 对应特征值 $3$ 的特征向量方向，$y_2, y_3$ 对应特征值 $0$ 的特征向量方向。由于特征值 $0$ 对应的项系数为零，标准形中只保留 $y_1^2$ 项。 **最终答案验证**： - 二次型的秩为 $1$（非零特征值的个数），与标准形中平方项个数一致。 - 正惯性指数为 $1$（正特征值个数），负惯性指数为 $0$，符合标准形中仅有一个正平方项。 - 若将 $\boldsymbol{y}$ 取为单位正交基下的坐标，则原二次型在正交变换下完全化简为 $3y_1^2$，无交叉项。 因此，正交变换下的标准形为 $3y_1^2$。