2011年考研数学三第14题
📝 题目
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \mu ; \sigma^{2}, \sigma^{2} ; 0\right)$ ，则 $E\left(X Y^{2}\right)=$
💡 答案解析
**答案**: $\mu \sigma^{2}+\mu^{3}$ ．
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**解析**:
显然 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), Y \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，因为 $\rho=0$ ，所以 $X, Y$ 独立． 于是 $E\left(X Y^{2}\right)=E(X) \cdot E\left(Y^{2}\right)=\mu\left[D(Y)+(E(Y))^{2}\right]=\mu\left(\sigma^{2}+\mu^{2}\right)=\mu \sigma^{2}+\mu^{3}$ ． 方法点评：若 $(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; \rho\right)$ ，则有如下性质：
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定边缘分布及独立性
已知二维随机变量 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，参数为 $\mu_1=\mu$，$\mu_2=\mu$，$\sigma_1^2=\sigma^2$，$\sigma_2^2=\sigma^2$，且相关系数 $\rho=0$。
根据二维正态分布的性质，若 $(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$，则其边缘分布分别为：
$$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\quad Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2).$$
代入本题参数，得：
$$X\sim N(\mu,\sigma^2),\quad Y\sim N(\mu,\sigma^2).$$
对于二维正态分布，一个重要性质是：$X$ 与 $Y$ 相互独立的充要条件是相关系数 $\rho=0$。本题中 $\rho=0$，因此 $X$ 与 $Y$ 相互独立。
综上，我们得到：
- $X$ 和 $Y$ 均服从均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布；
- $X$ 与 $Y$ 相互独立。
这一结论是后续计算 $P\{X
公式：$$X\sim N(\mu,\sigma^2),\quad Y\sim N(\mu,\sigma^2),\quad \rho=0\Rightarrow X\perp Y$$
提示：牢记二维正态分布中，ρ=0是独立的充要条件，可直接使用。
步骤 2/4
目标：利用独立性分解期望
已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立。根据数学期望的性质，当两个随机变量独立时，它们乘积的期望等于各自期望的乘积。因此，对于表达式 $E(XY^2)$，由于 $X$ 与 $Y$ 独立，且 $Y^2$ 是 $Y$ 的函数，故 $X$ 与 $Y^2$ 也相互独立。于是有：
$$E(XY^2) = E(X) \cdot E(Y^2).$$
这一分解将原问题转化为分别计算 $E(X)$ 和 $E(Y^2)$ 两个较为简单的期望，为后续步骤中代入具体分布或已知数值做好准备。注意，此步骤仅依赖独立性条件，不涉及具体分布形式，因此具有一般性。
公式：$$E(XY^2) = E(X) \cdot E(Y^2)$$
提示：牢记独立性是分解乘积期望的前提，且函数变换不改变独立性。
步骤 3/4
目标：计算E(X)和E(Y²)
本步骤的目标是计算期望 $E(X)$ 和 $E(Y^2)$。根据题目已知条件，随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，因此其期望直接由分布参数给出：$E(X) = \mu$。
对于 $E(Y^2)$，我们需要利用方差与期望的关系。已知 $Y$ 也服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，因此 $Y$ 的方差为 $D(Y) = \sigma^2$，期望为 $E(Y) = \mu$。根据方差公式：
$$D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2$$
移项可得：
$$E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2 = \sigma^2 + \mu^2$$
因此，本步骤的计算结果为：
$$E(X) = \mu, \quad E(Y^2) = \sigma^2 + \mu^2$$
注意：这里 $X$ 和 $Y$ 是独立同分布的随机变量，但本步骤仅用到它们各自的分布参数，不涉及协方差。
公式：$$E(X)=\mu,\quad E(Y^2)=D(Y)+[E(Y)]^2=\sigma^2+\mu^2$$
提示：牢记方差公式D(Y)=E(Y²)-[E(Y)]²，求二阶矩时先求方差和期望。
步骤 4/4
目标：代入求值
本步骤将已知的期望值代入表达式 $E(XY^2)$ 中进行计算。由前几步已知：$X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $E(X)=\mu$，$E(Y)=\mu$，$D(Y)=\sigma^2$。根据方差与期望的关系，有 $E(Y^2)=D(Y)+[E(Y)]^2=\sigma^2+\mu^2$。由于 $X$ 与 $Y$ 独立，$X$ 与 $Y^2$ 也独立（因为 $Y^2$ 是 $Y$ 的函数），因此 $E(XY^2)=E(X)\cdot E(Y^2)$。代入得：
$$E(XY^2)=\mu\cdot(\sigma^2+\mu^2)=\mu\sigma^2+\mu^3.$$
最终结果即为 $\mu\sigma^2+\mu^3$。验证：若 $\mu=0$，则期望为 $0$，符合对称性；若 $\sigma^2=0$（即 $Y$ 为常数），则 $E(XY^2)=\mu\cdot\mu^2=\mu^3$，与直接计算一致。
公式：$$E(XY^2)=\mu(\sigma^2+\mu^2)=\mu\sigma^2+\mu^3$$
提示：利用独立性和方差公式将$E(Y^2)$转化为已知量，避免直接求分布。
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