2011年考研数学三第16题

已知函数 $z = f(x+y, f(x,y))$，其中 $f$ 具有连续偏导数。为了求 $z$ 对 $x$ 的一阶偏导数，我们引入中间变量：令 $u = x + y$，$v = f(x,y)$，则 $z = f(u, v)$。根据多元复合函数的链式法则，$z$ 对 $x$ 的偏导数等于 $z$ 对中间变量 $u$ 和 $v$ 的偏导数分别乘以它们对 $x$ 的偏导数之和，即： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}. $$ 记 $f_1'(u,v)$ 表示 $f$ 对第一个变量 $u$ 的偏导数，$f_2'(u,v)$ 表示 $f$ 对第二个变量 $v$ 的偏导数。则上式可写为： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = f_1'(u,v) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_2'(u,v) \cdot \frac{\partial v}{\partial x}. $$ 计算各中间变量对 $x$ 的偏导数： - $u = x + y$，故 $\frac{\partial u}{\partial x} = 1$； - $v = f(x,y)$，故 $\frac{\partial v}{\partial x} = f_1'(x,y)$（这里 $f_1'(x,y)$ 表示 $f$ 对第一个变量 $x$ 的偏导数，在点 $(x,y)$ 处取值）。 将上述结果代入链式法则表达式，得到： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = f_1'(u,v) \cdot 1 + f_2'(u,v) \cdot f_1'(x,y). $$ 最后，将中间变量 $u$ 和 $v$ 还原为 $x,y$ 的表达式：$u = x+y$，$v = f(x,y)$，于是最终结果为： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = f_1'(x+y, f(x,y)) + f_2'(x+y, f(x,y)) \cdot f_1'(x,y). $$ 此即为 $z$ 对 $x$ 的一阶偏导数。

已知一阶偏导 $\frac{\partial z}{\partial x} = f_1'(u,v) \cdot 1 + f_2'(u,v) \cdot f_1'(x,y)$，其中 $u = x$，$v = f(x,y)$。现在对 $y$ 求偏导，注意 $u$ 与 $y$ 无关，$v$ 依赖于 $y$。 首先，$\frac{\partial}{\partial y} \left[ f_1'(u,v) \right] = f_{11}''(u,v) \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{12}''(u,v) \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = f_{11}''(u,v) \cdot 0 + f_{12}''(u,v) \cdot f_2'(x,y) = f_{12}''(u,v) \cdot f_2'(x,y)$。 其次，$\frac{\partial}{\partial y} \left[ f_2'(u,v) \cdot f_1'(x,y) \right]$ 是乘积求导： - 对 $f_2'(u,v)$ 求 $y$ 偏导：$\frac{\partial}{\partial y} f_2'(u,v) = f_{21}''(u,v) \cdot 0 + f_{22}''(u,v) \cdot f_2'(x,y) = f_{22}''(u,v) \cdot f_2'(x,y)$。 - 对 $f_1'(x,y)$ 求 $y$ 偏导：$f_{12}''(x,y)$（注意 $f_1'(x,y)$ 是 $f$ 对第一个变量的偏导再对 $y$ 求偏导，即混合偏导）。 因此乘积求导结果为：$\left[ f_{22}''(u,v) \cdot f_2'(x,y) \right] \cdot f_1'(x,y) + f_2'(u,v) \cdot f_{12}''(x,y)$。 将两部分相加，得到二阶混合偏导： $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_{12}''(u,v) \cdot f_2'(x,y) + f_{22}''(u,v) \cdot f_2'(x,y) \cdot f_1'(x,y) + f_2'(u,v) \cdot f_{12}''(x,y).$$ 注意：题目步骤概要中给出的形式为 $f_{11}'' + f_{12}'' \cdot f_2'(x,y) + f_2'(u,v) \cdot f_{12}''(x,y) + f_1'(x,y) \cdot [f_{21}''(u,v) + f_{22}''(u,v) \cdot f_2'(x,y)]$，其中 $f_{11}''$ 项来自对 $f_1'(u,v)$ 求导时 $\frac{\partial u}{\partial y}=0$ 故该项为零，而 $f_{21}''(u,v)$ 项在乘积求导中未出现（因为 $f_2'(u,v)$ 对 $y$ 求导时 $\frac{\partial u}{\partial y}=0$ 故该项也为零），因此最终结果与上述一致。

已知点 $(1,1)$ 处 $f(1,1)=2$ 是极值，且 $f$ 具有连续偏导数，因此在该点处一阶偏导数为零： $$ f_1'(1,1)=0,\quad f_2'(1,1)=0. $$ 上一步已得到表达式： $$ f_1'(x,y)=2x-2+\varphi'(x+y-2),\quad f_2'(x,y)=2y-2+\varphi'(x+y-2). $$ 将 $(x,y)=(1,1)$ 代入上述两式，并利用极值条件 $f_1'(1,1)=0$ 和 $f_2'(1,1)=0$，得： $$ 2\cdot1-2+\varphi'(1+1-2)=0 \quad \Rightarrow \quad 0+\varphi'(0)=0, $$ $$ 2\cdot1-2+\varphi'(1+1-2)=0 \quad \Rightarrow \quad 0+\varphi'(0)=0. $$ 两个方程均给出 $\varphi'(0)=0$。因此，在 $(1,1)$ 处，$\varphi'(0)=0$。 接下来，将 $\varphi'(0)=0$ 代入上一步得到的 $f_1'(x,y)$ 和 $f_2'(x,y)$ 表达式，在点 $(1,1)$ 处它们自然为零，无需进一步化简。但更重要的是，这个条件将用于后续步骤中求解 $\varphi$ 的具体形式。 至此，我们利用极值条件简化了问题：确定了 $\varphi'(0)=0$，为下一步求解 $\varphi$ 提供了关键条件。

本步骤将已知条件代入步骤2得到的混合偏导表达式，并完成最终化简。由步骤2已知： $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_{11}''(u,v) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{12}''(u,v) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} + f_{21}''(u,v) \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{22}''(u,v) \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} + f_2'(u,v) \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} $$ 其中 $u = x + y$, $v = xy$。在点 $(x,y) = (1,1)$ 处，有 $u = 2$, $v = 1$。计算各偏导数值： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = y = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = x = 1, \quad \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = 1 $$ 代入后得到： $$ \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)} = f_{11}''(2,1) \cdot 1 \cdot 1 + f_{12}''(2,1) \cdot 1 \cdot 1 + f_{21}''(2,1) \cdot 1 \cdot 1 + f_{22}''(2,1) \cdot 1 \cdot 1 + f_2'(2,1) \cdot 1 $$ 由于二阶偏导 $f_{12}'' = f_{21}''$，合并同类项得： $$ \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)} = f_{11}''(2,1) + 2 f_{12}''(2,1) + f_{22}''(2,1) + f_2'(2,1) $$ 注意：题目中步骤概要给出的表达式为 $f_{11}''(2,2) + f_2'(2,2) \cdot f_{12}''(1,1)$，但根据本题实际条件（$u=x+y$, $v=xy$），正确代入结果应为上述形式。若题目另有隐含条件（如 $f$ 的具体形式或极值条件），则可进一步计算数值。此处按常规保留为含未知偏导的表达式。最终结果即为该混合偏导在点 $(1,1)$ 处的值。