💡 答案解析
方法一
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x & =2 \int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{2 \sqrt{x}} \mathrm{~d} x=2 \int(\arcsin \sqrt{x}+\ln x) \mathrm{d}(\sqrt{x}) \\
& =2 \sqrt{x}(\arcsin \sqrt{x}+\ln x)-2 \int \sqrt{x}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x} \cdot \sqrt{1-x}}+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x \\
& =2 \sqrt{x}(\arcsin \sqrt{x}+\ln x)-\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x}}-2 \int \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}} \\
& =2 \sqrt{x}(\arcsin \sqrt{x}+\ln x)+2 \int \frac{\mathrm{~d}(1-x)}{2 \sqrt{1-x}}-4 \int \frac{\mathrm{~d} x}{2 \sqrt{x}} \\
& =2 \sqrt{x}(\arcsin \sqrt{x}+\ln x)+2 \sqrt{1-x}-4 \sqrt{x}+C
\end{aligned}
$$
## 方法二
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x & =2 \int(\arcsin \sqrt{x}+2 \ln \sqrt{x}) \mathrm{d}(\sqrt{x}) \\
& \xlongequal{\sqrt{x}=t} 2 \int \arcsin t \mathrm{~d} t+4 \int \ln t \mathrm{~d} t=2 t \arcsin t-2 \int \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathrm{~d} t+4 t \ln t-4 t \\
& =2 t \arcsin t+\int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathrm{~d}\left(1-t^{2}\right)+4 t \ln t-4 t \\
& =2 t \arcsin t+2 \sqrt{1-t^{2}}+4 t \ln t-4 t \\
& =2 \sqrt{x} \arcsin \sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}+2 \sqrt{x} \ln x-4 \sqrt{x}+C
\end{aligned}
$$
（18）【证明】设 $f(x)=4 \arctan x-x+\displaystyle\frac{4 \pi}{3}-\sqrt{3}$ ，
令 $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{4}{1+x^{2}}-1=0$ ，得 $x_{1}=-\sqrt{3}, x_{2}=\sqrt{3}$ 。
当 $x \in(-\infty,-\sqrt{3})$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，即 $f(x)$ 在 $(-\infty,-\sqrt{3}]$ 上单调减少；
当 $x \in(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，即 $f(x)$ 在 $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$ 上单调增加；
当 $x \in(\sqrt{3},+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，即 $f(x)$ 在 $[\sqrt{3},+\infty)$ 上单调减少．
因为 $f(-\sqrt{3})=0, f(\sqrt{3})=2\left(\displaystyle\frac{4 \pi}{3}-\sqrt{3}\right)>0, \displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$ ，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$内有且仅有两个零点，一个为 $x=-\sqrt{3}$ ，另一个位于 $(\sqrt{3},+\infty)$ 内．
📋 详细解题步骤
目标：计算第一个积分：换元
为了计算第一个积分 $\int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$，我们采用换元法。令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，两边微分得 $dx = 2t \, dt$。代入原积分：
$$\int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = \int \frac{\arcsin t}{t} \cdot 2t \, dt = 2 \int \arcsin t \, dt.$$
这里，$\frac{1}{\sqrt{x}} dx$ 恰好化为 $2 \, dt$，使得被积函数简化为 $\arcsin t$ 的常数倍。换元后的积分 $2\int \arcsin t \, dt$ 是基本积分形式，为下一步使用分部积分法奠定了基础。注意换元后变量为 $t$，积分完成后需将 $t$ 回代为 $\sqrt{x}$。
公式：令 $t=\sqrt{x}$，则 $dx=2t\,dt$，$\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\,dt$，积分化为 $2\int \arcsin t \, dt$
提示：换元时注意将 $\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ 整体替换，可简化计算。
目标：计算第一个积分：应用公式
本步骤的目标是计算第一个积分 $I_1 = 2\int \arcsin t \, dt$。首先，我们应用已知的不定积分公式：
$$\int \arcsin t \, dt = t\arcsin t + \sqrt{1-t^2} + C$$
其中 $C$ 为任意常数。将公式代入 $I_1$ 的表达式中，得到：
$$I_1 = 2\left( t\arcsin t + \sqrt{1-t^2} \right) + C_1$$
这里 $C_1 = 2C$ 仍为任意常数。
接下来，需要将变量 $t$ 回代为 $x$。由之前的换元可知 $t = \sqrt{x}$，因此：
$$t\arcsin t = \sqrt{x} \arcsin \sqrt{x}$$
$$
\sqrt{1-t^2} = \sqrt{1 - (\sqrt{x})^2} = \sqrt{1 - x}
$$
代入 $I_1$ 的表达式，得到：
$$I_1 = 2\sqrt{x}\arcsin\sqrt{x} + 2\sqrt{1-x} + C_1$$
至此，第一个积分 $I_1$ 的计算完成，结果以 $x$ 表示。
公式：$$\int \arcsin t \, dt = t\arcsin t + \sqrt{1-t^2} + C$$
提示：牢记反三角函数积分公式，回代时注意平方根的定义域。
目标：计算第二个积分：分部积分准备
为了计算第二个积分 $\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx$，我们采用分部积分法。首先将被积函数改写为乘积形式：$\frac{\ln x}{\sqrt{x}} = \ln x \cdot x^{-1/2}$。
选择 $u = \ln x$，$dv = x^{-1/2} \, dx$。则对 $u$ 求微分得 $du = \frac{1}{x} \, dx$；对 $dv$ 积分得 $v = \int x^{-1/2} \, dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$。
因此，分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 给出：
$$
\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = \ln x \cdot 2\sqrt{x} - \int 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \, dx = 2\sqrt{x} \ln x - 2 \int \frac{\sqrt{x}}{x} \, dx.
$$
化简被积函数：$\frac{\sqrt{x}}{x} = x^{1/2} \cdot x^{-1} = x^{-1/2}$，所以
$$
\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} \ln x - 2 \int x^{-1/2} \, dx.
$$
此步骤完成了分部积分的准备工作，下一步将计算剩余的积分 $\int x^{-1/2} \, dx$。
公式：\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} \ln x - 2 \int x^{-1/2} \, dx
提示：分部积分时，优先选择 $u$ 为对数函数，$dv$ 为幂函数，可简化后续积分。
目标：计算第二个积分：应用分部积分公式
本步骤的目标是计算第二个积分 $I_2 = \int 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \, dx$。首先，将积分表达式化简：$2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} = 2x^{1/2} \cdot x^{-1} = 2x^{-1/2}$。因此，$I_2 = \int 2x^{-1/2} \, dx$。
接下来，应用幂函数积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（其中 $n \neq -1$）。这里 $n = -\frac{1}{2}$，所以 $n+1 = \frac{1}{2}$。于是：
$$\int 2x^{-1/2} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2 \cdot 2x^{1/2} + C = 4\sqrt{x} + C。$$
回顾分部积分过程：在步骤4中，我们设 $u = \ln x$，$dv = \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$，则 $du = \frac{1}{x} \, dx$，$v = 2\sqrt{x}$。分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 给出：
$$\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} \ln x - \int 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \, dx = 2\sqrt{x} \ln x - I_2。$$
将 $I_2$ 的结果代入，得到：
$$\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} \ln x - 4\sqrt{x} + C = 2\sqrt{x}(\ln x - 2) + C。$$
注意：本步骤仅完成 $I_2$ 的计算，最终结果将在后续步骤中用于定积分的计算。
公式：$$\int 2x^{-1/2} \, dx = 4\sqrt{x} + C$$
提示：化简被积函数时，先将根式写为分数指数幂，再合并指数。
目标：计算第二个积分：完成积分
本步骤计算第二个积分 $I_2 = \int x^{-1/2} \ln x \, dx$。我们使用分部积分法，令 $u = \ln x$，$dv = x^{-1/2} dx$。则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = \int x^{-1/2} dx = 2x^{1/2}$。代入分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得到：
$$I_2 = \ln x \cdot 2x^{1/2} - \int 2x^{1/2} \cdot \frac{1}{x} dx = 2\sqrt{x} \ln x - 2 \int x^{-1/2} dx.$$
现在计算余下的积分 $\int x^{-1/2} dx$。由幂函数积分公式 $\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$（$\alpha \neq -1$），这里 $\alpha = -\frac{1}{2}$，所以 $\alpha+1 = \frac{1}{2}$，因此
$$\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C.$$
代入上式：
$$I_2 = 2\sqrt{x} \ln x - 2 \cdot (2\sqrt{x}) + C_2 = 2\sqrt{x} \ln x - 4\sqrt{x} + C_2.$$
其中 $C_2$ 为任意常数。至此，第二个积分计算完成。
公式：$$\int x^{-1/2} \ln x \, dx = 2\sqrt{x} \ln x - 4\sqrt{x} + C_2$$
提示：分部积分时，优先将 $\ln x$ 选为 $u$，因为它的导数简单。
目标：合并结果
在之前的步骤中，我们已经分别求出了两个积分：
$$I_1 = \int \frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \,dx = 2\sqrt{x}\arcsin\sqrt{x} + 2\sqrt{1-x} + C_1$$
$$I_2 = \int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \,dx = 2\sqrt{x}\ln x - 4\sqrt{x} + C_2$$
现在需要将这两个结果相加，得到原积分的结果：
$$\int \frac{\arcsin\sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}} \,dx = I_1 + I_2$$
代入表达式：
$$\begin{aligned}
I_1 + I_2 &= \left(2\sqrt{x}\arcsin\sqrt{x} + 2\sqrt{1-x} + C_1\right) + \left(2\sqrt{x}\ln x - 4\sqrt{x} + C_2\right) \\
&= 2\sqrt{x}\arcsin\sqrt{x} + 2\sqrt{1-x} + 2\sqrt{x}\ln x - 4\sqrt{x} + (C_1 + C_2)
\end{aligned}$$
由于 $C_1$ 和 $C_2$ 都是任意常数，它们的和仍为任意常数，记作 $C = C_1 + C_2$。因此，最终结果为：
$$\boxed{2\sqrt{x}\arcsin\sqrt{x} + 2\sqrt{1-x} + 2\sqrt{x}\ln x - 4\sqrt{x} + C}$$
**验证**：对结果求导，应得到被积函数 $\frac{\arcsin\sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}}$。
令 $F(x) = 2\sqrt{x}\arcsin\sqrt{x} + 2\sqrt{1-x} + 2\sqrt{x}\ln x - 4\sqrt{x} + C$，则
$$F'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\arcsin\sqrt{x} + 2\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}} + \frac{-1}{\sqrt{1-x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}\ln x + 2\sqrt{x}\cdot\frac{1}{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}$$
化简：
$$F'(x) = \frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{1-x}} - \frac{1}{\sqrt{1-x}} + \frac{\ln x}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{\arcsin\sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}}$$
验证正确。
公式：\int \frac{\arcsin\sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}} \,dx = 2\sqrt{x}\arcsin\sqrt{x} + 2\sqrt{1-x} + 2\sqrt{x}\ln x - 4\sqrt{x} + C
提示：合并结果后务必求导验证，检查每一项的系数和符号是否正确。