2011年考研数学三第22题

已知条件为$P\{X^2 = Y^2\}=1$。根据概率的基本性质，对立事件的概率和为1，因此有$P\{X^2 \neq Y^2\}=0$。这意味着所有满足$X^2 \neq Y^2$的样本点$(X,Y)$的概率均为0。 随机变量$X$和$Y$的可能取值需根据题目背景确定（此处假设$X$可取0,1，$Y$可取-1,0,1，这是常见设定）。列出所有可能的$(X,Y)$组合：$(0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)$。 计算每个组合对应的$X^2$与$Y^2$： - $(0,-1)$：$X^2=0$，$Y^2=1$，$0\neq1$，故$P=0$。 - $(0,0)$：$X^2=0$，$Y^2=0$，相等，概率可能非零。 - $(0,1)$：$X^2=0$，$Y^2=1$，$0\neq1$，故$P=0$。 - $(1,-1)$：$X^2=1$，$Y^2=1$，相等，概率可能非零。 - $(1,0)$：$X^2=1$，$Y^2=0$，$1\neq0$，故$P=0$。 - $(1,1)$：$X^2=1$，$Y^2=1$，相等，概率可能非零。 因此，联合分布中概率为0的位置是：$(X=0,Y=-1)$、$(X=0,Y=1)$、$(X=1,Y=0)$。其余三个点$(0,0)$、$(1,-1)$、$(1,1)$的概率之和为1，且各自非负。

已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 的边缘分布如下： $P(X=0)=\frac{1}{3}$，$P(X=1)=\frac{2}{3}$； $P(Y=-1)=\frac{1}{3}$，$P(Y=0)=\frac{1}{3}$，$P(Y=1)=\frac{1}{3}$。 由第一步已确定的零概率位置可知： $P(X=0,Y=1)=0$，$P(X=0,Y=-1)=0$，$P(X=1,Y=0)=0$。 现在利用边缘分布求剩余三个非零概率。设： $a = P(X=0,Y=0)$， $b = P(X=1,Y=-1)$， $c = P(X=1,Y=1)$。 由 $X$ 的边缘分布： $P(X=0)=P(X=0,Y=-1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0+a+0=a=\frac{1}{3}$， 所以 $a=\frac{1}{3}$。 $P(X=1)=P(X=1,Y=-1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=b+0+c=b+c=\frac{2}{3}$。 由 $Y$ 的边缘分布： $P(Y=-1)=P(X=0,Y=-1)+P(X=1,Y=-1)=0+b=b=\frac{1}{3}$， 所以 $b=\frac{1}{3}$。 $P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=0+c=c=\frac{1}{3}$， 所以 $c=\frac{1}{3}$。 代入 $b+c=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，与 $X$ 边缘一致。 因此联合分布中非零概率为： $$P(X=0,Y=0)=\frac{1}{3},\quad P(X=1,Y=-1)=\frac{1}{3},\quad P(X=1,Y=1)=\frac{1}{3}.$$

根据前两步已知的条件：随机变量$X$与$Y$相互独立，且$X$服从参数为$p$的0-1分布（即$P(X=0)=1-p$，$P(X=1)=p$），$Y$服从参数为$\lambda$的泊松分布（即$P(Y=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，$k=0,1,2,\dots$）。由于$X$与$Y$独立，联合分布律为边缘概率的乘积： $$P(X=i, Y=j)=P(X=i)\cdot P(Y=j),\quad i=0,1;\ j=0,1,2,\dots$$ 具体地： - 当$i=0$时，$P(X=0)=1-p$，故 $$P(X=0, Y=j)=(1-p)\cdot\frac{\lambda^j e^{-\lambda}}{j!},\quad j=0,1,2,\dots$$ - 当$i=1$时，$P(X=1)=p$，故 $$P(X=1, Y=j)=p\cdot\frac{\lambda^j e^{-\lambda}}{j!},\quad j=0,1,2,\dots$$ 将上述结果整理成表格形式（仅列出$j=0,1,2$作为示例，实际$j$可取所有非负整数）： | $X\backslash Y$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\cdots$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $0$ | $(1-p)e^{-\lambda}$ | $(1-p)\lambda e^{-\lambda}$ | $(1-p)\frac{\lambda^2}{2}e^{-\lambda}$ | $\cdots$ | | $1$ | $p e^{-\lambda}$ | $p\lambda e^{-\lambda}$ | $p\frac{\lambda^2}{2}e^{-\lambda}$ | $\cdots$ | 该联合分布律满足归一性：对所有$i=0,1$和$j=0,1,2,\dots$求和， $$\sum_{i=0}^1\sum_{j=0}^\infty P(X=i,Y=j)=(1-p)\sum_{j=0}^\infty\frac{\lambda^j e^{-\lambda}}{j!}+p\sum_{j=0}^\infty\frac{\lambda^j e^{-\lambda}}{j!}=(1-p)\cdot1+p\cdot1=1.$$ 因此，联合分布律完整确定。

由随机变量$X$和$Y$的联合分布律可知，$X$的可能取值为$0,1$，$Y$的可能取值为$-1,0,1$。定义$Z=XY$，则$Z$的所有可能取值由$X$与$Y$的乘积得到： - 当$X=0$时，无论$Y$取何值，$Z=0$； - 当$X=1$时，$Z$等于$Y$的取值，即$Z$可能为$-1,0,1$。 因此$Z$的可能取值为$-1,0,1$。 接下来计算各取值的概率： 1. $P(Z=-1)=P(X=1,Y=-1)$。由联合分布律，$P(X=1,Y=-1)=\frac{1}{3}$，故$P(Z=-1)=\frac{1}{3}$。 2. $P(Z=0)$包含所有使$XY=0$的情形，即： - $X=0,Y=-1$：概率$P(X=0,Y=-1)=\frac{1}{3}$； - $X=0,Y=0$：概率$P(X=0,Y=0)=0$； - $X=0,Y=1$：概率$P(X=0,Y=1)=0$； - $X=1,Y=0$：概率$P(X=1,Y=0)=0$。 所以$P(Z=0)=\frac{1}{3}+0+0+0=\frac{1}{3}$。 3. $P(Z=1)=P(X=1,Y=1)$。由联合分布律，$P(X=1,Y=1)=\frac{1}{3}$，故$P(Z=1)=\frac{1}{3}$。 也可利用概率和为1验证：$P(Z=-1)+P(Z=0)+P(Z=1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$。 因此，$Z$的分布律为： $$P(Z=-1)=\frac{1}{3},\quad P(Z=0)=\frac{1}{3},\quad P(Z=1)=\frac{1}{3}.$$

根据前几步的计算，我们已经得到了随机变量$Z = X + Y$的所有可能取值及其概率。$X$和$Y$的取值均为0,1,2，因此$Z$的可能取值为0,1,2,3,4。下面逐一计算每个取值的概率： - 当$Z=0$时，只有$(X=0,Y=0)$这一种组合，概率为$P(X=0,Y=0)=0.1$。 - 当$Z=1$时，有两种组合：$(X=0,Y=1)$和$(X=1,Y=0)$，概率分别为$P(X=0,Y=1)=0.1$，$P(X=1,Y=0)=0.1$，故$P(Z=1)=0.1+0.1=0.2$。 - 当$Z=2$时，有三种组合：$(X=0,Y=2)$，$(X=1,Y=1)$，$(X=2,Y=0)$，概率分别为$0.1$，$0.2$，$0.1$，故$P(Z=2)=0.1+0.2+0.1=0.4$。 - 当$Z=3$时，有两种组合：$(X=1,Y=2)$和$(X=2,Y=1)$，概率分别为$0.1$和$0.1$，故$P(Z=3)=0.1+0.1=0.2$。 - 当$Z=4$时，只有$(X=2,Y=2)$这一种组合，概率为$P(X=2,Y=2)=0.1$。 将以上结果整理成分布律表格如下： $$\begin{array}{c|ccccc} Z & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P & 0.1 & 0.2 & 0.4 & 0.2 & 0.1 \end{array}$$ 验证概率和为$0.1+0.2+0.4+0.2+0.1=1$，符合分布律的规范性。

根据步骤5中得到的联合分布律，我们分别计算随机变量$X$和$Y$的数学期望。 首先，计算$X$的期望$E(X)$。由联合分布律可得$X$的边缘分布律为：$P(X=0)=\frac{1}{3}$，$P(X=1)=\frac{2}{3}$。因此， $$ E(X)=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)=0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{2}{3}=\frac{2}{3}. $$ 其次，计算$Y$的期望$E(Y)$。由联合分布律可得$Y$的边缘分布律为：$P(Y=-1)=\frac{1}{3}$，$P(Y=0)=\frac{1}{3}$，$P(Y=1)=\frac{1}{3}$。因此， $$ E(Y)=(-1)\times P(Y=-1)+0\times P(Y=0)+1\times P(Y=1)=(-1)\times\frac{1}{3}+0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}=0. $$ 综上，$X$的期望为$\frac{2}{3}$，$Y$的期望为$0$。

根据步骤6中得到的随机变量$Z=XY$的分布律：$P(Z=-1)=\frac{1}{3}$，$P(Z=0)=\frac{1}{3}$，$P(Z=1)=\frac{1}{3}$。 期望$E(XY)=E(Z)$的计算公式为离散型随机变量期望的定义：$E(Z)=\sum_{k} z_k \cdot P(Z=z_k)$。 代入具体数值： $$E(Z)=(-1)\times\frac{1}{3}+0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}$$ $$E(Z)=-\frac{1}{3}+0+\frac{1}{3}=0$$ 因此，$E(XY)=0$。 注意：该结果与后续步骤中协方差的计算直接相关，因为$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，而$E(X)$和$E(Y)$已在前面步骤中求得，此处$E(XY)=0$将用于计算协方差。