2011年考研数学三第23题

解答题 · 10分

📝 题目

设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从区域 $G$ 上的均匀分布，其中 $G$ 是由 $x-y=0, x+y=2$ 与 $y=0$ 所围成的三角形区域。（I）求 $X$ 的概率密度 $f_{X}(x)$ ；（II）求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ．

💡 答案解析

**答案**: 见解析

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**解析**:

（I）$(X, Y)$ 的概率密度函数为 $f(x, y)= \begin{cases}1, & (x, y) \in G, \\ 0, & (x, y) \notin G,\end{cases}$ $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y$ ，当 $x \leqslant 0$ 或 $x \geqslant 2$ 时，$f_{X}(x)=0$ ；当 $0\lt x\lt 1$ 时，$f_{X}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \mathrm{~d} y=x$ ；当 $1 \leqslant x\lt 2$ 时，$f_{X}(x)=\displaystyle\int_{0}^{2-x} \mathrm{~d} y=2-x$ ，则 $f_{X}(x)= \begin{cases}x, & 0\lt x\lt 1, \\ 2-x, & 1 \leqslant x\lt 2, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$ （II）$Y$ 的概率密度为 $f_{Y}(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x$ ，当 $0\lt y\lt 1$ 时，$f_{Y}(y)=\displaystyle\int_{y}^{2-y} \mathrm{~d} x=2(1-y)$ ，当 $y \leqslant 0$ 或 $y \geqslant 1$ 时，$f_{Y}(y)=0$ ，则 $f_{Y}(y)= \begin{cases}2(1-y), & 0\lt y\lt 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4

目标：确定区域G并写出联合概率密度函数

首先，根据题目条件，随机变量$(X,Y)$服从区域$G$上的均匀分布。区域$G$由三条直线围成：$x-y=0$（即$y=x$），$x+y=2$（即$y=2-x$），以及$y=0$（即$x$轴）。求三条直线的交点： - 直线$y=x$与$y=2-x$的交点：联立$y=x$和$y=2-x$得$x=2-x$，解得$x=1$，$y=1$，即交点$(1,1)$。 - 直线$y=x$与$y=0$的交点：$y=0$代入$y=x$得$x=0$，即交点$(0,0)$。 - 直线$y=2-x$与$y=0$的交点：$y=0$代入$y=2-x$得$x=2$，即交点$(2,0)$。因此，区域$G$是以$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,0)$为顶点的三角形。计算三角形面积：底边为从$(0,0)$到$(2,0)$，长度为$2$；高为顶点$(1,1)$到$x$轴的垂直距离$1$，故面积$S=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1$。由于$(X,Y)$在$G$上服从均匀分布，联合概率密度函数$f(x,y)$在$G$内为常数，且等于面积的倒数，即$f(x,y)=\frac{1}{S}=1$；在$G$外为$0$。因此，联合概率密度函数为： $$f(x,y)=\begin{cases} 1, & (x,y)\in G \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ 其中区域$G$可描述为：$0\le y\le 1$，且对于每个$y$，$x$的范围从直线$y=x$（即$x=y$）到直线$y=2-x$（即$x=2-y$），即$y\le x\le 2-y$。

公式：$$f(x,y)=\begin{cases} 1, & (x,y)\in G \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

提示：画图辅助理解区域形状，注意三条直线围成的三角形顶点坐标要准确。

步骤 2/4

目标：求X的边缘概率密度f_X(x)（分段讨论）

已知二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)$，其非零区域为三角形区域：$0 \leq y \leq x \leq 2-y$，即$0 \leq y \leq 1$且$y \leq x \leq 2-y$。为求$X$的边缘概率密度$f_X(x)$，需对$y$积分：$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy$。由于$f(x,y)$仅在特定区域非零，需根据$x$的取值范围分段讨论。\n\n**情况1：** 当$x<0$或$x>2$时，对于任意$y$，点$(x,y)$均不在联合密度的非零区域内，因此$f_X(x)=0$。\n\n**情况2：** 当$0 \leq x < 1$时，在固定$x$下，$y$的取值范围由联合密度的支撑决定。由$y \leq x$且$y \leq 2-x$，且$y \geq 0$，同时$x<1$时$2-x>1$，故$y$的上限为$x$（因为$x<2-x$），下限为$0$。因此$f_X(x)=\int_{0}^{x} 1 \, dy = x$。\n\n**情况3：** 当$1 \leq x < 2$时，固定$x$，$y$的取值范围：由$y \leq x$和$y \leq 2-x$，且$x \geq 1$时$2-x \leq x$，故$y$的上限为$2-x$，下限为$0$。因此$f_X(x)=\int_{0}^{2-x} 1 \, dy = 2-x$。\n\n**情况4：** 当$x=2$时，$2-x=0$，积分区间退化为一点，$f_X(2)=0$，可归入情况1。\n\n综上，$X$的边缘概率密度函数为： $$ f_X(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x < 1 \\ 2-x, & 1 \leq x < 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$

公式：f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \begin{cases} x, & 0 \leq x < 1 \\ 2-x, & 1 \leq x < 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

提示：画图确定积分区域，根据x的不同范围确定y的积分限。

步骤 3/4

目标：求Y的边缘概率密度f_Y(y)

由联合概率密度函数$f(x,y)$求边缘概率密度$f_Y(y)$，需对$x$在$f(x,y)$的非零区域内积分。已知$f(x,y)$的非零区域为：$01$时，$f(x,y)=0$，故$f_Y(y)=0$。当$0 y$恒成立，积分区间有效。因此，$Y$的边缘概率密度函数为： $$ f_Y(y)=\begin{cases} 2(1-y), & 0

公式：f_Y(y)=\int_{y}^{2-y} 1\,dx = 2(1-y),\quad 0

提示：画图确定积分区域，注意$x$的上下限随$y$变化，积分后需注明$y$的范围。

步骤 4/4

目标：计算条件概率密度f_{X|Y}(x|y)

根据条件概率密度的定义公式： $$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$ 我们已经在前序步骤中得到了联合概率密度函数： $$f(x,y) = \begin{cases} 1, & 0

公式：f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} = \begin{cases} \dfrac{1}{2(1-y)}, & 0

提示：计算条件密度时，先确定使联合密度非零的区域，再除以对应的边缘密度。

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