2011年考研数学三第5题

题目给出矩阵$A$，经过一次列变换：将$A$的第2列加到第1列，得到矩阵$B$。我们需要将这一列变换用矩阵乘法的形式表示。 设$A$为$n$阶方阵（或$m \times n$矩阵），列变换作用于$A$的右侧，即右乘一个初等矩阵。将第2列加到第1列的初等矩阵$P_1$，可以通过对单位矩阵$I$施行相同的列变换得到：对单位矩阵$I$，将其第2列加到第1列，所得矩阵即为$P_1$。 具体地，$I$的第1列为$\mathbf{e}_1 = (1,0,\dots,0)^\mathrm{T}$，第2列为$\mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0)^\mathrm{T}$。将第2列加到第1列后，新第1列变为$\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 = (1,1,0,\dots,0)^\mathrm{T}$，第2列保持不变仍为$\mathbf{e}_2$，其余列不变。因此初等矩阵$P_1$为： $$ P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}. $$ 于是，列变换后的矩阵$B$满足： $$ B = A P_1. $$ 验证：设$A$的列向量为$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n$，则右乘$P_1$后，$B$的第1列为$A \cdot (\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2) = \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2$，第2列为$A \cdot \mathbf{e}_2 = \mathbf{a}_2$，其余列不变，恰好对应“将第2列加到第1列”的操作。 因此，本步骤将列变换表示为矩阵乘法：$B = A P_1$，其中$P_1$是上述初等矩阵。

根据题目信息，已知矩阵 $B$ 经过一次行变换后得到单位矩阵 $E$。具体变换为：交换 $B$ 的第2行与第3行。 为了将这一行变换表示为矩阵乘法，我们需要构造一个初等矩阵 $P_2$，使得左乘 $P_2$ 相当于执行交换第2行与第3行的操作。 初等矩阵的构造方法：对单位矩阵 $E$ 执行相同的行变换。 因此，从 $3 \times 3$ 单位矩阵 $I_3$ 出发： $$ I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ 交换第2行与第3行，得到： $$ P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ 于是，交换 $B$ 的第2行与第3行等价于左乘 $P_2$，即： $$ E = P_2 B $$ 这里 $E$ 是单位矩阵，$B$ 是题目中给定的矩阵。该等式表明，通过左乘初等矩阵 $P_2$，我们实现了行交换变换，并得到了单位矩阵。 注意：行变换对应左乘初等矩阵，列变换对应右乘初等矩阵。本步骤中只涉及行变换，因此使用左乘。 至此，我们已将行变换表示为矩阵乘法 $E = P_2 B$，为后续步骤中求解 $B$ 的逆矩阵或进一步分解奠定了基础。

根据前两步得到的关系：$B = A P_1$ 和 $E = P_2 B$。将第一个表达式代入第二个表达式，即用 $A P_1$ 替换 $B$，得到： $$E = P_2 (A P_1)$$ 利用矩阵乘法的结合律，上式可写为： $$E = (P_2 A) P_1$$ 由于 $E$ 是单位矩阵，因此我们得到了关于未知矩阵 $A$ 的矩阵方程： $$(P_2 A) P_1 = E$$ 这个方程将 $A$ 与两个已知的初等矩阵 $P_1$ 和 $P_2$ 以及单位矩阵 $E$ 联系起来。$P_1$ 和 $P_2$ 分别对应题目中给出的初等行变换和初等列变换。注意，$P_1$ 是右乘在 $A$ 上的，表示对 $A$ 进行列变换；$P_2$ 是左乘在 $A$ 上的，表示对 $A$ 进行行变换。因此，方程 $E = P_2 A P_1$ 表明：对矩阵 $A$ 先进行 $P_1$ 所对应的列变换，再进行 $P_2$ 所对应的行变换，结果得到单位矩阵。

已知等式为 $E = P_2 A P_1$，其中 $E$ 是单位矩阵，$P_1$ 和 $P_2$ 均为可逆矩阵。为了解出矩阵 $A$，我们需要将 $P_2$ 和 $P_1$ 分别移到等式的另一边。 首先，在等式 $E = P_2 A P_1$ 的两边同时左乘 $P_2^{-1}$（即 $P_2$ 的逆矩阵），得到： $$P_2^{-1} E = P_2^{-1} P_2 A P_1$$ 由于 $P_2^{-1} P_2 = I$（单位矩阵），且 $P_2^{-1} E = P_2^{-1}$，上式简化为： $$P_2^{-1} = A P_1$$ 接着，在等式 $P_2^{-1} = A P_1$ 的两边同时右乘 $P_1^{-1}$（即 $P_1$ 的逆矩阵），得到： $$P_2^{-1} P_1^{-1} = A P_1 P_1^{-1}$$ 由于 $P_1 P_1^{-1} = I$，因此： $$P_2^{-1} P_1^{-1} = A$$ 所以，矩阵 $A$ 的表达式为 $A = P_2^{-1} P_1^{-1}$。注意，这里的乘法顺序不能颠倒，因为矩阵乘法不满足交换律。 另外，根据逆矩阵的性质，$(P_1 P_2)^{-1} = P_2^{-1} P_1^{-1}$，因此 $A$ 也可以写成 $A = (P_1 P_2)^{-1}$，但需注意原题中 $P_1$ 和 $P_2$ 的左右位置。

由前几步已知，矩阵$A$可表示为初等矩阵的乘积：$A = P_2 P_1^{-1}$，其中$P_1$是将第1行的$k$倍加到第3行的初等矩阵，$P_2$是交换第2行与第3行的初等矩阵。 首先，$P_2$是交换两行的初等矩阵，其逆矩阵等于自身，即$P_2^{-1} = P_2$。这是因为交换两次行变换恢复原状。因此，$P_2$的逆矩阵就是它本身。 其次，$P_1$是将第1行的$k$倍加到第3行的初等矩阵，其逆矩阵$P_1^{-1}$是将第1行的$-k$倍加到第3行的初等矩阵。所以$P_1^{-1}$也是一个初等矩阵。 于是，$A = P_2 P_1^{-1}$是两个初等矩阵的乘积。观察选项，选项(D)给出的矩阵恰好对应$P_2 P_1^{-1}$的乘积结果。 验证：设$P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，$P_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -k & 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $$A = P_2 P_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -k & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -k & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ 这正是选项(D)中的矩阵。因此，正确答案是(D)。