2011年考研数学三第6题

已知$\eta_1, \eta_2, \eta_3$是某非齐次线性方程组$Ax=b$的三个解向量，且它们线性无关。对于非齐次线性方程组，任意两个解的差是齐次方程组$Ax=0$的解。因此，构造向量$\xi_1 = \eta_2 - \eta_1$和$\xi_2 = \eta_3 - \eta_1$，则$\xi_1, \xi_2$均为齐次方程组$Ax=0$的解。下面证明$\xi_1$与$\xi_2$线性无关。假设存在常数$k_1, k_2$使得$k_1\xi_1 + k_2\xi_2 = 0$，即$k_1(\eta_2-\eta_1) + k_2(\eta_3-\eta_1) = 0$，整理得$(-k_1-k_2)\eta_1 + k_1\eta_2 + k_2\eta_3 = 0$。由于$\eta_1, \eta_2, \eta_3$线性无关，系数必须全为零：$-k_1-k_2=0,\ k_1=0,\ k_2=0$，解得$k_1=0, k_2=0$。故$\xi_1, \xi_2$线性无关。因此齐次方程组$Ax=0$至少有两个线性无关的解，即基础解系所含向量个数至少为2。

首先回顾题目条件：设非齐次线性方程组 $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$ 有 $3$ 个解向量 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\boldsymbol{\eta}_3$，且 $\boldsymbol{\eta}_1-\boldsymbol{\eta}_2+\boldsymbol{\eta}_3=\mathbf{0}$。由此可知 $\boldsymbol{\eta}_2-\boldsymbol{\eta}_1$ 与 $\boldsymbol{\eta}_3-\boldsymbol{\eta}_1$ 是导出组 $\mathbf{Ax}=\mathbf{0}$ 的解，且 $\boldsymbol{\eta}_2-\boldsymbol{\eta}_1$ 与 $\boldsymbol{\eta}_3-\boldsymbol{\eta}_1$ 线性相关（因为 $\boldsymbol{\eta}_3-\boldsymbol{\eta}_1 = -(\boldsymbol{\eta}_2-\boldsymbol{\eta}_1)$），所以导出组的基础解系只含 $1$ 个向量，即 $\boldsymbol{\eta}_2-\boldsymbol{\eta}_1$（或 $\boldsymbol{\eta}_3-\boldsymbol{\eta}_1$）。 现在分析选项 (A) 和 (B)： - 选项 (A)：$\boldsymbol{\eta}_1 + k(\boldsymbol{\eta}_2-\boldsymbol{\eta}_1)$。其齐次部分为 $k(\boldsymbol{\eta}_2-\boldsymbol{\eta}_1)$，只包含一个自由参数 $k$，因此只能表示所有形如 $\boldsymbol{\eta}_1 + t(\boldsymbol{\eta}_2-\boldsymbol{\eta}_1)$ 的解，即一条直线上的解。但非齐次方程的通解结构为：一个特解加上导出组的全部解。由于导出组的基础解系只有一个向量，其全部解应为 $c(\boldsymbol{\eta}_2-\boldsymbol{\eta}_1)$，其中 $c$ 为任意常数。选项 (A) 的齐次部分恰好就是 $k(\boldsymbol{\eta}_2-\boldsymbol{\eta}_1)$，所以它确实能表示所有齐次解。但注意：选项 (A) 的特解是 $\boldsymbol{\eta}_1$，而 $\boldsymbol{\eta}_1$ 是原方程的一个解，因此选项 (A) 实际上是正确的通解形式。然而，题目要求选出“错误”的选项，所以 (A) 是正确的，不应排除。 - 选项 (B)：$\boldsymbol{\eta}_1 + k(\boldsymbol{\eta}_2+\boldsymbol{\eta}_3)$。其齐次部分为 $k(\boldsymbol{\eta}_2+\boldsymbol{\eta}_3)$。我们需要判断 $\boldsymbol{\eta}_2+\boldsymbol{\eta}_3$ 是否为导出组的解。计算 $\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta}_2+\boldsymbol{\eta}_3) = \mathbf{A}\boldsymbol{\eta}_2 + \mathbf{A}\boldsymbol{\eta}_3 = \mathbf{b} + \mathbf{b} = 2\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$（因为 $\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$），所以 $\boldsymbol{\eta}_2+\boldsymbol{\eta}_3$ 不是导出组的解。因此，选项 (B) 的齐次部分 $k(\boldsymbol{\eta}_2+\boldsymbol{\eta}_3)$ 根本就不是导出组的解，更不用说表示所有齐次解了。所以选项 (B) 是错误的。 综上，选项 (A) 的齐次部分正确，选项 (B) 的齐次部分错误。因此排除 (B)，保留 (A)。

选项(D)给出的特解形式为 $\frac{\eta_2 - \eta_3}{2}$。首先，根据非齐次线性微分方程解的结构，已知 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是某非齐次线性微分方程的三个线性无关的特解，则它们的差 $\eta_2 - \eta_3$ 是对应齐次方程的解。这是因为对于非齐次方程 $L[y] = f(x)$，若 $L[\eta_2] = f(x)$ 且 $L[\eta_3] = f(x)$，则 $L[\eta_2 - \eta_3] = L[\eta_2] - L[\eta_3] = f(x) - f(x) = 0$，所以 $\eta_2 - \eta_3$ 是齐次解。 因此，$\frac{\eta_2 - \eta_3}{2}$ 仍然是齐次解（齐次解的常数倍仍是齐次解）。而题目要求的是非齐次方程的特解，选项(D)给出的这个表达式实际上只属于齐次解空间，它不满足非齐次方程 $L[y] = f(x)$（除非 $f(x)=0$，但这里 $f(x) \neq 0$）。所以该选项不能作为非齐次方程的一个特解，应当排除。 进一步验证：假设 $y_p = \frac{\eta_2 - \eta_3}{2}$，则 $L[y_p] = \frac{1}{2} L[\eta_2 - \eta_3] = 0 \neq f(x)$，故不满足非齐次方程。因此选项(D)错误。

首先，选项(C)给出的通解形式为： $$y = \frac{\eta_2 + \eta_3}{2} + k_1(\eta_2 - \eta_1) + k_2(\eta_3 - \eta_1)$$ 其中$k_1, k_2$为任意常数。 **第一步：验证特解部分** 由于$\eta_2$和$\eta_3$都是非齐次线性方程$y' + P(x)y = Q(x)$的解，根据非齐次方程解的线性组合性质，它们的算术平均值$\frac{\eta_2 + \eta_3}{2}$也是该非齐次方程的解。这是因为： $$\left(\frac{\eta_2 + \eta_3}{2}\right)' + P(x)\left(\frac{\eta_2 + \eta_3}{2}\right) = \frac{1}{2}[\eta_2' + P(x)\eta_2] + \frac{1}{2}[\eta_3' + P(x)\eta_3] = \frac{1}{2}Q(x) + \frac{1}{2}Q(x) = Q(x)$$ 因此$\frac{\eta_2 + \eta_3}{2}$确实是一个特解。 **第二步：验证齐次解部分** 考虑齐次方程$y' + P(x)y = 0$。由于$\eta_1, \eta_2, \eta_3$是三个不同的非齐次解，它们的差$\eta_2 - \eta_1$和$\eta_3 - \eta_1$都是齐次方程的解。我们需要验证这两个解是否线性无关。 假设存在常数$c_1, c_2$使得$c_1(\eta_2 - \eta_1) + c_2(\eta_3 - \eta_1) = 0$恒成立。整理得： $$c_1\eta_2 + c_2\eta_3 - (c_1 + c_2)\eta_1 = 0$$ 由于$\eta_1, \eta_2, \eta_3$是三个不同的解，且题目隐含它们线性无关（否则通解中自由常数个数会减少），因此上式成立当且仅当$c_1 = 0, c_2 = 0, c_1 + c_2 = 0$，即$c_1 = c_2 = 0$。所以$\eta_2 - \eta_1$与$\eta_3 - \eta_1$线性无关。 **第三步：通解结构验证** 一阶非齐次线性微分方程的通解结构为：特解 + 齐次方程的通解。齐次方程是一阶的，其通解应含有一个任意常数。但这里选项(C)的齐次部分含有两个任意常数$k_1, k_2$，这似乎与一阶方程只有一个线性无关齐次解矛盾。 然而，仔细分析：一阶齐次线性方程的解空间是一维的，即所有齐次解都是某个非零解的常数倍。但$\eta_2 - \eta_1$和$\eta_3 - \eta_1$都是齐次解，它们必然线性相关（因为一维空间不能有两个线性无关的向量）。事实上，由于$\eta_1, \eta_2, \eta_3$是三个不同的非齐次解，它们的差之间满足关系： $$(\eta_3 - \eta_1) - (\eta_2 - \eta_1) = \eta_3 - \eta_2$$ 而$\eta_3 - \eta_2$也是齐次解，但$\eta_2 - \eta_1$与$\eta_3 - \eta_1$的线性组合实际上只生成一个一维子空间。因此，选项(C)中的$k_1(\eta_2 - \eta_1) + k_2(\eta_3 - \eta_1)$实际上只相当于一个任意常数（因为两个向量线性相关），所以通解中实际上只有一个自由参数，符合一阶方程的通解要求。 **结论**：选项(C)满足通解结构，因此正确。