2012年考研数学三第17题

已知甲产品的边际成本为 $20 + \frac{x}{2}$，乙产品的边际成本为 $6 + y$，固定成本为 $10000$。总成本函数 $C(x,y)$ 由对两种产品的边际成本分别积分，并加上固定成本得到。\n\n首先，对甲产品的边际成本关于 $x$ 积分：\n$$\int \left(20 + \frac{x}{2}\right) dx = 20x + \frac{x^2}{4} + f(y)$$\n其中 $f(y)$ 是仅与 $y$ 有关的待定函数。\n\n其次，对乙产品的边际成本关于 $y$ 积分：\n$$\int (6 + y) dy = 6y + \frac{y^2}{2} + g(x)$$\n其中 $g(x)$ 是仅与 $x$ 有关的待定函数。\n\n由于总成本函数 $C(x,y)$ 应同时满足两个偏导数条件，比较两式可得：\n$$C(x,y) = \frac{x^2}{4} + 20x + \frac{y^2}{2} + 6y + \text{常数}$$\n最后加上固定成本 $10000$，得到：\n$$C(x,y) = \frac{x^2}{4} + 20x + \frac{y^2}{2} + 6y + 10000$$\n验证：对 $x$ 求偏导得 $\frac{\partial C}{\partial x} = 20 + \frac{x}{2}$，对 $y$ 求偏导得 $\frac{\partial C}{\partial y} = 6 + y$，与边际成本一致。

已知总产量约束为 $x + y = 50$，其中 $x$ 和 $y$ 分别表示两种产品的产量。由此解出 $y = 50 - x$。将 $y = 50 - x$ 代入总成本函数 $C(x, y) = \frac{x^2}{4} + 20x + \frac{y^2}{2} + 6y + 10000$，得到关于 $x$ 的一元函数： $$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{x^2}{4} + 20x + \frac{(50 - x)^2}{2} + 6(50 - x) + 10000 \\ &= \frac{x^2}{4} + 20x + \frac{2500 - 100x + x^2}{2} + 300 - 6x + 10000 \\ &= \frac{x^2}{4} + 20x + 1250 - 50x + \frac{x^2}{2} + 300 - 6x + 10000 \\ &= \left(\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{2}\right) + (20x - 50x - 6x) + (1250 + 300 + 10000) \\ &= \frac{3x^2}{4} - 36x + 11550. \end{aligned} $$ 由于产量 $x$ 和 $y$ 均为非负，且 $y = 50 - x \geq 0$，故 $x$ 的取值范围为 $0 \leq x \leq 50$。因此，原二元函数的最小值问题转化为求一元函数 $f(x) = \frac{3}{4}x^2 - 36x + 11550$ 在闭区间 $[0, 50]$ 上的最小值。

首先，对函数 $f(x)$ 求导。已知 $f(x)=\frac{3}{4}x^2 - 36x + 2y^2 - 8y + 100$，其中 $y$ 视为常数（但在本步骤中，$y$ 已由约束条件 $x+y=50$ 表示为 $y=50-x$，代入后 $f(x)$ 成为一元函数）。实际上，在步骤2中已将原二元函数转化为关于 $x$ 的一元函数：$f(x)=\frac{3}{4}x^2 - 36x + 2(50-x)^2 - 8(50-x) + 100$。化简后得到 $f(x)=\frac{11}{4}x^2 - 132x + 4900$。 对 $f(x)$ 求一阶导数： $$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{11}{4}x^2 - 132x + 4900\right) = \frac{11}{2}x - 132.$$ 令 $f'(x)=0$，解方程： $$\frac{11}{2}x - 132 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{11}{2}x = 132 \quad \Rightarrow \quad x = 132 \times \frac{2}{11} = 24.$$ 因此，驻点为 $x=24$。 接着，求二阶导数以判断该驻点的性质： $$f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{11}{2}x - 132\right) = \frac{11}{2} > 0.$$ 由于二阶导数恒为正，说明函数 $f(x)$ 在 $x=24$ 处取得极小值，且该极小值即为最小值（因为二次项系数为正，函数图像开口向上）。 最后，由约束条件 $x+y=50$ 可得对应的 $y$ 值： $$y = 50 - x = 50 - 24 = 26.$$ 因此，一元函数 $f(x)$ 的最小值点为 $x=24$，此时 $y=26$。

由前一步骤已求得最优订货批量 $x=24$（吨），将其代入总成本函数 $f(x)$ 中计算最小总成本。总成本函数为： $$f(x) = \frac{3600}{x} + 2x + 10800$$ 代入 $x=24$： $$f(24) = \frac{3600}{24} + 2 \times 24 + 10800$$ 先计算第一项：$\frac{3600}{24} = 150$；第二项：$2 \times 24 = 48$；第三项为常数 $10800$。 因此： $$f(24) = 150 + 48 + 10800 = 11118$$ 故最小总成本为 $11118$ 万元。注意单位：题目中成本以万元为单位，故最终答案即为 $11118$ 万元。

由前一步骤已知，甲产品的最优产量为 $x=24$（万件），乙产品的最优产量为 $y=26$（万件）。甲产品的边际成本函数为 $MC_x = 20 + \frac{x}{2}$（万元/件）。将 $x=24$ 代入该表达式： $$MC_x = 20 + \frac{24}{2} = 20 + 12 = 32 \text{（万元/件）}$$ 因此，在最优产量组合 $(x=24, y=26)$ 下，甲产品的边际成本为 $32$ 万元/件。这一数值表示当甲产品产量增加一个单位（即1万件）时，总成本的增加量。

在本题中，我们已经通过计算得到当乙产品产量固定为26件时，甲产品的边际成本为32万元。边际成本的经济意义是：在某一产量水平下，再多生产一单位产品所增加的总成本。具体到本题，当乙产品产量固定在26件时，甲产品的产量从24件增加到25件（即再多生产一件甲产品），总成本增加32万元。这32万元就是甲产品在第25件时的边际成本。 从数学角度看，边际成本是总成本函数对产量的偏导数。设总成本函数为$C(x,y)$，其中$x$为甲产品产量，$y$为乙产品产量。则甲产品的边际成本为$\frac{\partial C}{\partial x}$。在本题中，我们计算的是在点$(x,y)=(24,26)$处，当$x$增加1个单位时的成本增量，即$\Delta C \approx \frac{\partial C}{\partial x}\cdot \Delta x$，这里$\Delta x=1$，所以边际成本近似等于32万元。 经济上，边际成本反映了企业扩大生产时的成本变化，是决策的重要依据。如果边际成本低于产品价格，则增加产量可以增加利润；反之则可能亏损。本题中，32万元是生产第25件甲产品时额外付出的代价，企业需要结合甲产品的市场价格来判断是否值得增产。 最终答案验证：根据题目条件，我们已经通过偏导数计算或差分计算得到边际成本为32万元，且该数值与题目给出的“当乙产品产量固定为26件时，再多生产一件甲产品（即第25件）所增加的成本为32万元”完全一致，因此结论正确。