设函数 $f(x)=\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{2 x}-2\right) \cdots\left(\mathrm{e}^{n x}-n\right)$ ，其中 $n$ 为正整数，则 $f^{\prime}(0)=$
设函数 $f(t)$ 连续，则二次积分 $\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \displaystyle\int_{2 \cos \theta}^{2} f\left(r^{2}\right) r \mathrm{~d} r=$
已知级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sqrt{n} \sin \displaystyle\frac{1}{n^{\alpha}}$ 绝对收敛，级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n}}{n^{2-\alpha}}$ 条件收敛，则
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{4}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right)$ ，其中 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为
设 $\boldsymbol{A}$ 为3阶矩阵， $\boldsymbol{P}$ 为3阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 。若 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ ， $\boldsymbol{Q}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ ，则 $\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布，则 $P\left\{X^{2}+Y^{2} \leqslant 1\right\}=$
设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 为来自总体 $N\left(1, \sigma^{2}\right)(\sigma\gt 0)$ 的简单随机样本，则统计量 $\displaystyle\frac{X_{1}-X_{2}}{\left|X_{3}+X_{4}-2\right|}$ 的分布为
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow \displaystyle\frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\displaystyle\frac{1}{\cos x-\sin x}}=$ $\_\_\_\_$。
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln \sqrt{x}, & x \geqslant 1, \\ 2 x-1, & x\lt 1,\end{array} y=f(f(x))\right.$ ，则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=\mathrm{e}}=$ $\_\_\_\_$ ．
设连续函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \displaystyle\frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
由曲线 $y=\displaystyle\frac{4}{x}$ 和直线 $y=x$ 及 $y=4 x$ 在第一象限中围成的平面图形的面积为 $\_\_\_\_$ .
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，$|\boldsymbol{A}|=3, ~ \boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则 $\left|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$。
设 $A, B, C$ 是随机事件，$A$ 与 $C$ 互不相容，$P(A B)=\displaystyle\frac{1}{2}, P(C)=\displaystyle\frac{1}{3}$ ，则 $P(A B \mid \bar{C})=$
求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x^{2}}-\mathrm{e}^{2-2 \cos x}}{x^{4}}$ ．
计算二重积分 $\iint_{D} \mathrm{e}^{x} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是以曲线 $y=\sqrt{x}, y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}$ 及 $y$ 轴为边界的无界区域。
某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10000 （万元）。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 $x$（件）和 $y$（件），且这两种产品的边际成本分别为 $20+\displaystyle\frac{x}{2}$（万元／件）与 $6+y$（万元／件）． （I）求生产甲、乙两种产品的总成本函数 $C(x, y)$（万元）； （II）当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小总成本； （III）求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。
证明 $x \ln \displaystyle\frac{1+x}{1-x}+\cos x \geqslant 1+\displaystyle\frac{x^{2}}{2}(-1\lt x\lt 1)$ ．
已知函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 \mathrm{e}^{x}$ ． （I）求 $f(x)$ 的表达式； （II）求曲线 $y=f\left(x^{2}\right) \displaystyle\int_{0}^{x} f\left(-t^{2}\right) \mathrm{d} t$ 的拐点．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ． （I）计算行列式 $|\boldsymbol{A}|$ ； （II）当实数 $a$ 为何值时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解，并求其通解。
已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$ ，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}$ 的秩为 2 ． （I）求实数 $a$ 的值； （II）求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 将 $f$ 化为标准形。
设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
| $X$ | $Y$ | 1 | 2 |
| 0 | $\displaystyle\frac{1}{4}$ | 0 | $\displaystyle\frac{1}{4}$ |
| 1 | 0 | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | 0 |
| 2 | $\displaystyle\frac{1}{12}$ | 0 | $\displaystyle\frac{1}{12}$ |
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布。记 $U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$ 。 （I）求 $V$ 的概率密度 $f_{V}(v)$ ； （II）求 $E(U+V)$ 。