2012年考研数学三第20题
📝 题目
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ． （I）计算行列式 $|\boldsymbol{A}|$ ； （II）当实数 $a$ 为何值时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解，并求其通解。
💡 答案解析
好的，我们先将题目条件完整列出，并根据要求分两部分给出完整解答过程。我们来逐步推理计算。
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**题目：** 设 \[ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \] （I）计算行列式 \(|\boldsymbol{A}|\) ； （II）当实数 \(a\) 为何值时，方程组 \(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}\) 有无穷多解，并求其通解。
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### （I）计算行列式
我们可以利用矩阵的结构直接展开或者用行变换。该矩阵是循环移位式的矩阵，直接展开比较方便。
先写出矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0\\ 0 & 1 & a & 0\\ 0 & 0 & 1 & a\\ a & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
按第一列展开，可以得到： \[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a & 0\\ 0 & 1 & a\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot (\cdots) + 0 \cdot (\cdots) - a \cdot \begin{vmatrix} a & 0 & 0\\ 1 & a & 0\\ 0 & 1 & a \end{vmatrix} \] 这里注意符号：按第一列展开，第4行第1列元素为 \(a\)，其代数余子式为 \((-1)^{4+1} M_{41} = -M_{41}\)，故第三项为 \(-a M_{41}\)。
第一个三阶行列式是上三角矩阵，值为 \(1\cdot1\cdot1=1\)。
第二个三阶行列式 \[ \begin{vmatrix} a & 0 & 0\\ 1 & a & 0\\ 0 & 1 & a \end{vmatrix} \] 这是下三角矩阵（注意对角线上都是 \(a\)），其值等于 \(a\cdot a\cdot a = a^3\)。
于是： \[ \det(A) = 1\cdot 1 - a\cdot (a^3) = 1 - a^4. \]
因此： \[ \boxed{1-a^4} \]
这样第一问完成。
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### （II）无穷多解条件及求解
#### 1. 无穷多解的条件
对于非齐次线性方程组 \(A x = \beta\)，无穷多解当且仅当： \[ \det(A)=0\quad\text{且}\quad \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|\beta) < n \] 这里 \(n=4\)。
由第一问，\(\det(A)=1-a^4=0\) 得： \[ a^4=1 \Rightarrow a = \pm 1 \text{ (实数范围内)} \]
我们分别检验两种情况。
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#### 2. 当 \(a=1\) 时
矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 增广矩阵： \[ (A|\beta) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \]
做行变换：第4行减去第1行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \] 第4行加第2行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \] 第4行减去第3行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \] 最后一行变成 \(0=-2\)，矛盾。因此 \(a=1\) 时无解。
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#### 3. 当 \(a=-1\) 时
矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 增广矩阵： \[ (A|\beta) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \]
第4行加第1行： \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] 第4行加第2行： \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] 第4行加第3行： \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 秩为3，等于增广矩阵的秩，小于未知数个数4，因此有无穷多解。
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#### 4. 求通解
化成阶梯形后的方程组为： \[ \begin{cases} x_1 - x_2 = 1\\ x_2 - x_3 = -1\\ x_3 - x_4 = 0 \end{cases} \] 取自由未知量 \(x_4 = t\)（\(t\)为任意实数），则： \[ x_3 = x_4 = t \] \[ x_2 = x_3 - 1 = t - 1 \] \[ x_1 = x_2 + 1 = t \]
所以通解为： \[ \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} t \\ t-1 \\ t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}. \]
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**最终答案**：
（I） \[ \boxed{1-a^4} \]
（II）当 \(a=-1\) 时有无穷多解，通解为 \[ \boxed{\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix},\ t\in\mathbb{R}} \]
这样解答就完整了。