2012年考研数学三第5题

本题给出四个三维向量： $$ \alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ c_1 \end{pmatrix}, \alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ c_2 \end{pmatrix}, \alpha_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ c_3 \end{pmatrix}, \alpha_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ c_4 \end{pmatrix} $$ 其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数。题目要求判断：对于任意常数 $c_1, c_2, c_3, c_4$，下列哪一组向量总是线性相关？选项为： (A) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ (B) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ (C) $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ (D) $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 注意：每个向量前两个分量是固定的，第三个分量含有自由参数。线性相关性与常数取值无关，意味着无论 $c_i$ 取什么值，该组向量都线性相关。因此，我们需要分析每组三个向量的前两个分量构成的 $3\times2$ 子矩阵的秩，并结合第三个分量的结构判断是否必然存在非零组合系数使得线性组合为零。 关键观察：由于第三个分量是自由参数，若前两个分量已经线性相关（即前两个分量构成的向量组秩小于3），则无论第三个分量如何，整组向量必然线性相关。反之，若前两个分量线性无关，则可以通过调整第三个分量的系数来避免线性相关，但题目要求“与常数取值无关”，因此只有前两个分量已经线性相关的组才满足条件。 因此，本题转化为：找出哪一组向量的前两个分量（即每个向量的前两个坐标构成的二维向量）是线性相关的。

首先，观察选项（A）中的三个向量：$\alpha_1 = (0,0,c)^T$，$\alpha_2 = (0,1,c)^T$，$\alpha_3 = (1,-1,c)^T$。为了判断这三个三维向量是否线性无关，我们考虑它们的前两个分量构成的二维向量：$\alpha_1' = (0,0)$，$\alpha_2' = (0,1)$，$\alpha_3' = (1,-1)$。这三个二维向量是线性无关的，因为由它们组成的矩阵 $\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}$ 的秩为2（前两列不成比例，且第三列不能由前两列线性表示）。由于前两个分量已经线性无关，那么无论第三个分量 $c$ 取何值，原三维向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 必定线性无关。这是因为如果存在一组不全为零的系数 $k_1,k_2,k_3$ 使得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$，则前两个分量给出 $k_1(0,0) + k_2(0,1) + k_3(1,-1) = (0,0)$，由二维向量的线性无关性可知 $k_1=k_2=k_3=0$，从而原向量组线性无关。因此，对于任意常数 $c$，选项（A）中的向量组都是线性无关的，即选项（A）不满足题目要求（题目要求找出线性相关的向量组）。

选项（B）中的向量组为 $\alpha_1=(0,0)$，$\alpha_2=(0,1)$，$\alpha_4=(-1,1)$。首先观察这三个向量的前两个分量：$\alpha_1$ 的前两个分量为 $(0,0)$，$\alpha_2$ 的前两个分量为 $(0,1)$，$\alpha_4$ 的前两个分量为 $(-1,1)$。我们需要判断这三个二维向量是否线性无关。 构造矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，即三个向量的前两个分量按列排列。对矩阵进行初等行变换：第一行乘以 $-1$ 得 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，再交换第一行与第二行得 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。此时矩阵的秩为 $2$，等于向量的个数 $3$？实际上矩阵只有两行，秩最大为 $2$，而向量个数为 $3$，因此这三个二维向量必然线性相关。因为二维空间中最多只有两个线性无关的向量，三个二维向量一定线性相关。 具体地，我们可以找到一组不全为零的系数使得线性组合为零：设 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_4 = 0$，即 $k_1(0,0) + k_2(0,1) + k_3(-1,1) = (0,0)$。得到方程组：$-k_3 = 0$，$k_2 + k_3 = 0$。解得 $k_3 = 0$，$k_2 = 0$，$k_1$ 任意。取 $k_1 = 1$，则 $1\cdot\alpha_1 + 0\cdot\alpha_2 + 0\cdot\alpha_4 = 0$，但 $\alpha_1$ 本身就是零向量，零向量与任何向量组都线性相关。实际上，因为 $\alpha_1$ 是零向量，所以该向量组必然线性相关。 因此，选项（B）中的向量组线性相关，不是极大无关组。

已知向量组： $\alpha_1 = (0,0,c_1)^T$，$\alpha_3 = (0,0,c_3)^T$，$\alpha_4 = (0,0,c_4)^T$。 首先计算 $\alpha_3 + \alpha_4$： $$\alpha_3 + \alpha_4 = (0,0,c_3)^T + (0,0,c_4)^T = (0,0,c_3+c_4)^T$$ 由于 $\alpha_1 = (0,0,c_1)^T$，显然 $\alpha_3 + \alpha_4$ 与 $\alpha_1$ 成比例（因为前两个分量均为0，第三个分量成比例关系），即存在非零常数 $k = \frac{c_3+c_4}{c_1}$（假设 $c_1 \neq 0$），使得 $\alpha_3 + \alpha_4 = k\alpha_1$。因此 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关。 或者通过计算行列式验证： $$|\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ c_1 & c_3 & c_4 \end{vmatrix} = 0$$ 因为第一行全为零，行列式值为0，所以三个向量线性相关。 因此选项（C）中的向量组 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 是线性相关的，不符合题目要求“线性无关”的条件，故排除选项（C）。

选项（D）给出的向量组为：$\alpha_2=(0,1)$，$\alpha_3=(1,-1)$，$\alpha_4=(-1,1)$。这些向量是二维向量（只有两个分量），但题目中要求判断的是三维向量组的线性相关性。实际上，这里给出的向量是二维的，而题目中原本的向量是三维的，因此需要明确：在三维空间中，这些向量可以视为前两个分量有值、第三个分量为0的向量，即：$\alpha_2=(0,1,0)$，$\alpha_3=(1,-1,0)$，$\alpha_4=(-1,1,0)$。 首先，观察这三个向量的前两个分量构成的矩阵： $$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$ 前两个分量构成的向量组为：$(0,1)$，$(1,-1)$，$(-1,1)$。容易看出，$(1,-1)$与$(-1,1)$成比例（$(-1,1)=-(1,-1)$），因此它们线性相关。实际上，$\alpha_3$与$\alpha_4$满足$\alpha_3+\alpha_4=0$，即$\alpha_4=-\alpha_3$。所以，这三个向量中已经存在线性相关关系，从而整个向量组$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性相关。 进一步验证：考虑线性组合$k_1\alpha_2+k_2\alpha_3+k_3\alpha_4=0$。取$k_1=0$，$k_2=1$，$k_3=1$，则$0\cdot\alpha_2+1\cdot\alpha_3+1\cdot\alpha_4=\alpha_3+\alpha_4=(1,-1,0)+(-1,1,0)=(0,0,0)$，存在非零系数，故线性相关。 因此，选项（D）中的向量组是线性相关的，不符合题目要求（线性无关）。

经过前五步的分析与计算，我们逐一验证了四个选项中的向量组的线性相关性。 - 对于选项（A），向量组为 $\alpha_1=(1,0,0)^T,\alpha_2=(0,1,0)^T,\alpha_3=(0,0,1)^T$，这是三维空间的标准正交基，显然线性无关。 - 对于选项（B），向量组为 $\alpha_1=(1,1,0)^T,\alpha_2=(1,0,1)^T,\alpha_3=(0,1,1)^T$，计算行列式 $\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}=1\cdot(0\cdot1-1\cdot1)-1\cdot(1\cdot1-1\cdot0)+0\cdot(1\cdot1-0\cdot0)=1\cdot(-1)-1\cdot(1)+0=-2\neq0$，故线性无关。 - 对于选项（C），向量组为 $\alpha_1=(1,1,1)^T,\alpha_2=(1,2,3)^T,\alpha_3=(2,3,4)^T$，计算行列式 $\begin{vmatrix}1&1&2\\1&2&3\\1&3&4\end{vmatrix}=1\cdot(2\cdot4-3\cdot3)-1\cdot(1\cdot4-3\cdot1)+2\cdot(1\cdot3-2\cdot1)=1\cdot(8-9)-1\cdot(4-3)+2\cdot(3-2)=1\cdot(-1)-1\cdot(1)+2\cdot(1)=-1-1+2=0$，行列式为零，故向量组线性相关。 - 对于选项（D），向量组为 $\alpha_1=(1,0,1)^T,\alpha_2=(0,1,1)^T,\alpha_3=(1,1,0)^T$，计算行列式 $\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{vmatrix}=1\cdot(1\cdot0-1\cdot1)-0\cdot(0\cdot0-1\cdot1)+1\cdot(0\cdot1-1\cdot1)=1\cdot(0-1)+0+1\cdot(0-1)=-1-1=-2\neq0$，故线性无关。 因此，只有选项（C）中的向量组线性相关，故正确答案为（C）。