目标：写出联合密度函数
已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从 $[0,1]$ 上的均匀分布，$Y$ 也服从 $[0,1]$ 上的均匀分布。因此，$X$ 的边缘密度函数为 $f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，$Y$ 的边缘密度函数为 $f_Y(y) = \begin{cases} 1, & 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。
由于 $X$ 与 $Y$ 相互独立，联合密度函数 $f(x,y)$ 等于边缘密度函数的乘积，即 $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$。代入边缘密度表达式，得到：
$$f(x,y) = \begin{cases} 1 \times 1 = 1, & 0 \leq x \leq 1 \text{ 且 } 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
因此，联合密度函数在单位正方形 $[0,1] \times [0,1]$ 内恒为 $1$，在单位正方形外为 $0$。这一结果符合二维均匀分布的定义，即 $(X,Y)$ 在单位正方形上服从均匀分布。
公式：$$f(x,y) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
提示：注意独立时联合密度就是边缘密度的乘积，定义域取交集。
目标：确定概率的积分表达式
根据概率论的基本原理，事件 $\{X^2+Y^2 \leq 1\}$ 的概率等于联合概率密度函数 $f(x,y)$ 在该事件对应的区域上的二重积分。由于题目中 $(X,Y)$ 服从单位正方形 $[0,1]\times[0,1]$ 上的均匀分布，其联合密度函数为：
$$
f(x,y) = \begin{cases}
1, & 0 \leq x \leq 1,\; 0 \leq y \leq 1, \\
0, & \text{其他}.
\end{cases}
$$
因此，所求概率为：
$$
P\{X^2+Y^2 \leq 1\} = \iint\limits_{\{(x,y): x^2+y^2 \leq 1\}} f(x,y) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y.
$$
由于 $f(x,y)$ 仅在单位正方形内取值为1，其余区域为0，所以上述二重积分实际上等于单位正方形 $[0,1]\times[0,1]$ 与圆盘 $\{x^2+y^2 \leq 1\}$ 的交集区域的面积。即：
$$
P\{X^2+Y^2 \leq 1\} = \text{Area}\left( [0,1]\times[0,1] \cap \{x^2+y^2 \leq 1\} \right).
$$
该交集区域是单位正方形中位于第一象限且满足 $x^2+y^2 \leq 1$ 的部分，即一个半径为1的圆在第一象限内的四分之一圆。因此，该区域的面积等于半径为1的圆的面积的四分之一：
$$
\text{Area} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{4}.
$$
所以概率的积分表达式为：
$$
P\{X^2+Y^2 \leq 1\} = \iint\limits_{0 \leq x \leq 1,\; 0 \leq y \leq 1,\; x^2+y^2 \leq 1} 1 \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{\pi}{4}.
$$
公式：P\{X^2+Y^2 \leq 1\} = \iint\limits_{[0,1]\times[0,1] \cap \{x^2+y^2 \leq 1\}} 1 \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{\pi}{4}
提示：注意积分区域是正方形与圆盘的交集，利用几何意义直接求面积更简便。
目标：计算积分区域面积
积分区域由题目条件确定：在第一象限内，由$x$轴、$y$轴以及单位圆$x^2 + y^2 = 1$所围成的部分。该区域是半径为1的圆在第一象限的部分，即四分之一圆。圆的面积公式为$S_{\text{圆}} = \pi r^2$，代入$r=1$得$S_{\text{圆}} = \pi$。因此，第一象限内的四分之一圆面积为$\frac{1}{4} \times \pi = \frac{\pi}{4}$。所以积分区域的面积为$\frac{\pi}{4}$。
公式：$$S = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{\pi}{4}$$
提示：注意区域是第一象限的四分之一圆，半径是1。