2012年考研数学三第8题

已知随机变量 $X_1$ 和 $X_2$ 相互独立，且均服从正态分布 $N(1, \sigma^2)$。根据正态分布的线性性质，两个独立正态随机变量的差仍服从正态分布。具体地，$X_1 - X_2$ 的期望为 $E(X_1 - X_2) = E(X_1) - E(X_2) = 1 - 1 = 0$，方差为 $D(X_1 - X_2) = D(X_1) + D(X_2) = \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2$（因为独立，协方差为零）。因此 $X_1 - X_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$。 为了将分子标准化为标准正态分布，我们需要对 $X_1 - X_2$ 进行标准化处理。标准化的一般方法是：将随机变量减去其期望，再除以其标准差。这里期望为0，标准差为 $\sqrt{2\sigma^2} = \sqrt{2}\sigma$。于是构造统计量： $$ \frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}\sigma} \sim N(0, 1). $$ 这样，我们就将分子 $X_1 - X_2$ 转化为了标准正态随机变量，为后续步骤中构造 $t$ 统计量或 $\chi^2$ 统计量奠定了基础。

根据题目信息，$X_3$和$X_4$相互独立，且均服从正态分布$N(1, \sigma^2)$。由独立正态分布的可加性，它们的和也服从正态分布，其均值为两均值之和，方差为两方差之和。因此，$X_3 + X_4 \sim N(1+1, \sigma^2+\sigma^2) = N(2, 2\sigma^2)$。 为了将分母中的表达式标准化为标准正态分布，我们需要对$X_3+X_4$进行标准化处理。标准化的一般方法是：将随机变量减去其均值，再除以其标准差。这里，$X_3+X_4$的均值为2，标准差为$\sqrt{2\sigma^2} = \sqrt{2}\sigma$。因此，构造统计量： $$ \frac{(X_3+X_4) - 2}{\sqrt{2}\sigma} $$ 该统计量服从标准正态分布$N(0,1)$。 这个标准化后的表达式将作为后续步骤中构造$t$统计量或$F$统计量的基础，它使得分母中的随机部分转化为已知的标准正态分布，从而可以进一步与分子中的卡方分布结合，得到所需的抽样分布。

为了将分母中的绝对值表达式转化为卡方分布的形式，我们首先考虑随机变量 $X_3$ 和 $X_4$。已知 $X_3, X_4 \sim N(1, \sigma^2)$ 且相互独立，因此它们的线性组合 $X_3 + X_4$ 服从正态分布： $$X_3 + X_4 \sim N(2, 2\sigma^2).$$ 对其进行标准化处理，令 $$Z = \frac{(X_3 + X_4) - 2}{\sqrt{2}\sigma},$$ 则 $Z \sim N(0,1)$。于是，$Z^2$ 服从自由度为1的卡方分布，即 $Z^2 \sim \chi^2(1)$。 现在考虑分母中的绝对值 $|X_3 + X_4 - 2|$。由上述标准化变换可得 $$|X_3 + X_4 - 2| = \sqrt{2}\sigma |Z|.$$ 因此，分母 $|X_3 + X_4 - 2|$ 可以表示为 $\sqrt{2}\sigma |Z|$，其中 $Z \sim N(0,1)$，$Z^2 \sim \chi^2(1)$。这一转化将原问题中的绝对值表达式与卡方分布联系起来，为后续步骤中利用卡方分布的性质进行统计推断奠定了基础。

已知前几步已得到：分子部分 $\frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}\sigma} \sim N(0,1)$，分母部分 $|Z| = \sqrt{Z^2}$，其中 $Z \sim N(0,1)$，且 $Z^2 \sim \chi^2(1)$。因此原统计量可改写为： $$ T = \frac{\frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}\sigma}}{|Z|} = \frac{\frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}\sigma}}{\sqrt{Z^2}}. $$ 令 $U = \frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}\sigma} \sim N(0,1)$，$V = Z^2 \sim \chi^2(1)$，且 $U$ 与 $V$ 相互独立（因为 $X_1, X_2, Z$ 相互独立）。则统计量可表示为： $$ T = \frac{U}{\sqrt{V/1}} = \frac{U}{\sqrt{V}}. $$ 这正是 $t$ 分布的定义形式：若 $U \sim N(0,1)$，$V \sim \chi^2(k)$，且 $U$ 与 $V$ 独立，则 $\frac{U}{\sqrt{V/k}} \sim t(k)$。此处 $k=1$，故 $T \sim t(1)$。 最终答案：该统计量服从自由度为1的 $t$ 分布，即 $t(1)$ 分布。