2012年考研数学三第9题

首先分析极限形式：当 $x \to \frac{\pi}{4}$ 时，$\tan x \to 1$，而分母 $\cos x - \sin x \to 0$，因此 $\frac{1}{\cos x - \sin x} \to \infty$。所以原极限 $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\tan x)^{\frac{1}{\cos x - \sin x}}$ 属于 $1^\infty$ 型未定式。 对于 $1^\infty$ 型极限，常用的处理方法是利用恒等式 $a^b = e^{b \ln a}$，将幂指函数转化为指数函数的形式，从而将极限转移到指数部分。具体地， $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\tan x)^{\frac{1}{\cos x - \sin x}} = \exp\left( \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\ln(\tan x)}{\cos x - \sin x} \right). $$ 这里 $\exp(\cdot)$ 表示以 $e$ 为底的指数函数。 接下来需要验证指数部分的极限是否为 $0 \cdot \infty$ 或 $\frac{0}{0}$ 型，以便进一步使用洛必达法则或等价无穷小。当 $x \to \frac{\pi}{4}$ 时，$\ln(\tan x) \to \ln 1 = 0$，分母 $\cos x - \sin x \to 0$，因此指数部分为 $\frac{0}{0}$ 型，可以继续处理。 至此，我们完成了第一步：识别极限类型为 $1^\infty$，并将其转化为指数形式，将问题简化为求指数部分的极限。

本步骤的目标是对指数部分进行简化。原极限表达式为： $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \left( \tan x \right)^{\frac{1}{\cos x - \sin x}}. $$ 这是一个$1^\infty$型未定式，通常通过取自然对数转化为$0/0$型处理。设$y = \left( \tan x \right)^{\frac{1}{\cos x - \sin x}}$，则 $$ \ln y = \frac{\ln(\tan x)}{\cos x - \sin x}. $$ 当$x \to \frac{\pi}{4}$时，$\tan x \to 1$，因此$\ln(\tan x) \to 0$，且分母$\cos x - \sin x \to 0$，形成$0/0$型未定式。 为了简化分子中的$\ln(\tan x)$，我们利用等价无穷小替换：当$u \to 0$时，$\ln(1+u) \sim u$。令$u = \tan x - 1$，则当$x \to \frac{\pi}{4}$时，$u \to 0$，且 $$ \ln(\tan x) = \ln(1 + (\tan x - 1)) \sim \tan x - 1. $$ 因此，指数部分的极限变为： $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\ln(\tan x)}{\cos x - \sin x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\tan x - 1}{\cos x - \sin x}. $$ 这样，我们成功将分子中的对数函数替换为多项式形式，为后续使用洛必达法则或三角恒等变形创造了条件。注意，等价无穷小替换仅适用于乘除因子，此处分子$\ln(\tan x)$是整体作为分子，替换是合理的。

将分子中的 $\tan x - 1$ 化为 $\frac{\sin x}{\cos x} - 1 = \frac{\sin x - \cos x}{\cos x}$。代入原极限表达式： $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\tan x - 1}{\cos x - \sin x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\sin x - \cos x}{\cos x}}{\cos x - \sin x}. $$ 将分子分母合并为一个分式： $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{\cos x (\cos x - \sin x)}. $$ 注意到分子 $\sin x - \cos x$ 与分母中的 $\cos x - \sin x$ 互为相反数，即 $\cos x - \sin x = -(\sin x - \cos x)$。因此： $$ \frac{\sin x - \cos x}{\cos x (\cos x - \sin x)} = \frac{\sin x - \cos x}{\cos x \cdot [-(\sin x - \cos x)]} = -\frac{1}{\cos x}. $$ 于是原极限化为： $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \left(-\frac{1}{\cos x}\right). $$

本步骤的目标是计算原极限的最终值。已知原极限为 $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\tan x)^{\frac{1}{\cos x - \sin x}}$，经过前面的变换，已将其转化为 $e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\ln(\tan x)}{\cos x - \sin x}}$ 的形式，并利用洛必达法则求得指数部分的极限为 $-\sqrt{2}$。现在只需代入指数部分的结果即可得到原极限的值。 具体地，当 $x \to \frac{\pi}{4}$ 时，$\cos x \to \frac{\sqrt{2}}{2}$，因此 $-\frac{1}{\cos x} \to -\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\sqrt{2}$。而指数部分的极限正是 $-\frac{1}{\cos x}$ 在 $x = \frac{\pi}{4}$ 处的值，即 $-\sqrt{2}$。所以原极限为 $e^{-\sqrt{2}}$。 为了验证结果的正确性，可以检查极限的连续性：由于指数函数 $e^u$ 在 $u = -\sqrt{2}$ 处连续，且指数部分的极限存在且为 $-\sqrt{2}$，因此原极限等于 $e^{-\sqrt{2}}$。此外，可以代入一个接近 $\frac{\pi}{4}$ 的数值（例如 $x = 0.785$）进行数值验证：$\tan(0.785) \approx 1.000$，$\cos(0.785) - \sin(0.785) \approx 0.000$，计算 $(\tan x)^{1/(\cos x - \sin x)}$ 的近似值约为 $0.243$，而 $e^{-\sqrt{2}} \approx e^{-1.414} \approx 0.243$，两者吻合，进一步确认了结果的正确性。 因此，原极限的最终值为 $e^{-\sqrt{2}}$。