2012年考研数学三第13题

由题意，矩阵$B$是由矩阵$A$交换第1行与第2行得到的。设矩阵$A$的行列式为$|A|$，已知$|A| = 3$。 根据行列式的性质：交换矩阵的两行，行列式变号。因此，交换$A$的第1行和第2行后得到的矩阵$B$的行列式满足： $$|B| = -|A|.$$ 代入已知条件$|A| = 3$，得： $$|B| = -3.$$ 所以，矩阵$B$的行列式为$-3$。

已知矩阵 $A$ 为三阶方阵，且 $|A| = 3$。我们需要计算伴随矩阵 $A^*$ 的行列式 $|A^*|$。 对于 $n$ 阶方阵，伴随矩阵的行列式与原矩阵的行列式之间有一个重要的关系式： $$|A^*| = |A|^{n-1}$$ 其中 $n$ 为矩阵的阶数。 本题中 $n = 3$，$|A| = 3$，代入公式得： $$|A^*| = 3^{3-1} = 3^2 = 9$$ 因此，伴随矩阵 $A^*$ 的行列式为 $9$。 注意：该公式的推导基于 $AA^* = |A|E$，两边取行列式得 $|A||A^*| = |A|^n$，当 $|A| \neq 0$ 时，两边同除以 $|A|$ 即得 $|A^*| = |A|^{n-1}$。本题中 $|A| = 3 \neq 0$，故公式适用。

本步骤的目标是计算矩阵乘积 $BA^*$ 的行列式，其中 $B$ 是已知的 $3$ 阶方阵，$A^*$ 是矩阵 $A$ 的伴随矩阵。根据行列式的乘法性质，对于两个同阶方阵 $X$ 和 $Y$，有 $|XY| = |X| \cdot |Y|$。因此，我们有： $$|BA^*| = |B| \cdot |A^*|.$$ 在前面的步骤中，我们已经求得 $|B| = -3$，以及 $|A^*| = 9$。代入上式得： $$|BA^*| = (-3) \times 9 = -27.$$ 为了验证结果的正确性，我们可以检查计算过程中是否满足行列式的性质。注意，伴随矩阵的行列式与原矩阵的行列式之间有关系：对于 $n$ 阶方阵 $A$，有 $|A^*| = |A|^{n-1}$。这里 $n=3$，且已知 $|A| = 3$，则 $|A^*| = 3^{3-1} = 3^2 = 9$，与之前结果一致。同时 $|B| = -3$ 也已在前面步骤中正确得出。因此，乘积的行列式 $|BA^*| = -27$ 是最终答案。 最终答案：$\boxed{-27}$。